Question

如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)，連結(jié)BP.

△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,連結(jié)AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F.

  （1） 如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在  ▲  關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由；

（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β . 當(dāng)60°＜α＜180°時(shí)，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合. 已知AB=4，設(shè)DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

解: （1） 相似   

由題意得：∠APA₁=∠BPB₁=α   AP= A₁P  BP=B₁P

               則  ∠PAA₁ =∠PBB₁ =

                 ∵∠PBB₁ =∠EBF        ∴∠PAE=∠EBF

     又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF ∽△AEP

（2）存在，理由如下：

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可

∴∠BAE=∠ABE

         ∵∠BAC=60°       ∴∠BAE=

∵∠ABE=β   ∠BAE=∠ABE    

∴ 即α=2β+60°  

（3）連結(jié)BD，交A₁B₁于點(diǎn)G，

過點(diǎn)A₁作A₁H⊥AC于點(diǎn)H.

∵∠B₁ A₁P=∠A₁PA=60° ∴A₁B₁∥AC

             由題意得：AP= A₁ P   ∠A=60°

             ∴△PAA₁是等邊三角形

∴A₁H=

在Rt△ABD中，BD=

             ∴BG=

∴ （0≤x＜2）