Question

已知，如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A，B，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在x軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．△CQE的面積S是否有最大值？如果有最大值，請求出這個最大值，并求出點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y=ax²-2ax+c，得到關(guān)于a與c的方程組，解方程組即可；
（2）先在Rt△AOC中運用勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)△ACM是等腰三角形分三種情況討論：①AM=AC；②CM=CA；③MA=MC；
（3）設(shè)BQ=x，因為EQ∥AC，所以△BEQ∽△BCA，再利用相似三角形的性質(zhì)得出S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點Q的坐標．

解答：解：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y=ax²-2ax+c（a≠0）得，
c=4，16a-8a+c=0，
解得a=-

1

2

，c=4，
∴該拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4；

（2）在x軸上存在點M，能夠使得△ACM是等腰三角形．理由如下：
在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3，∠AOC=90°，
∴AC=

OA2+OC2

=4

2

．
分三種情況：
①如果AM=AC，那么M₁（4-4

2

，0），M₂（4+4

2

，0）；
②如果CM=CA，那么M₃（-4，0），
③如果MA=MC，則M在是AC的垂直平分線與x軸的交點，即M與原點O重合，M₄（0，0）；
故在x軸存在一點P，使△ACP是等腰三角形，滿足條件的P點坐標是（4-4

2

，0）或（4+4

2

，0）或（-4，0）或（0，0）；

（3）∵y=-

1

2

x2+x+4，
∴當y=0時，-

1

2

x2+x+4=0，
解得x=-2或x=4，
∵點A的坐標為（4，0），
∴點B的坐標為（-2，0，），AB=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×4=12．
設(shè)BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴

S△BEQ

S△BCA

=（

BQ

AB

）²=

x2

36

，
∴S_△BEQ=

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
當x=

-2

2×(- 1 3 )

=3時，S_△CQE面積最大，
∵OQ=BQ-OB=3-2=1
∴Q點坐標為（1，0）．

點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．題型較好，綜合性強．