Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4cm，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿A→B向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿B→A向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，以PD為邊向右側(cè)作正方形PDEF，過點(diǎn)Q作QG⊥AB，交折線BC﹣CA于點(diǎn)G與點(diǎn)C不重合，以QG為邊作等腰直角△QGH，且點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)C、H始終在QG的同側(cè)，設(shè)正方形PDEF與△QGH重疊部分圖形的面積為S（cm2），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）當(dāng)點(diǎn)F在邊QH上時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)正方形PDEF與△QGH重疊部分圖形是四邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)FH所在的直線平行或垂直于AB時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)F在邊QH上時(shí)，易知AP=PQ=BQ，

∵Rt△ABC中，AB=4，

∴t= 時(shí)，點(diǎn)F在邊QH上

（2）

解：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在GQ上時(shí)，易知AP=BQ=t，PD=PF= t．PQ=PF= t，

∴t+ t+t=4，

∴t= ，

由（1）可知，當(dāng) ＜t≤ 時(shí)，正方形PDEF與△QGH重疊部分圖形是四邊形

此時(shí)s= t[ t﹣ （4﹣2t）]= t2﹣2t．

如圖3中，當(dāng)G在EF上時(shí)，則有 （4﹣t）= t+ （2t﹣4）．解得t= ，

如圖4中，當(dāng)G與D重合時(shí)，易知2t﹣4= t，解得t= ．

當(dāng) ≤t＜ 時(shí)，S=S△GHQ﹣S△TRQ= （4﹣t）2﹣ [ （2t﹣4）]2=﹣ t2﹣4

（3）

解：①如圖5中，當(dāng)FH⊥AB時(shí)，延長HF交AB于T，易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=t，PT= t，

∴3t+ t=4，

∴t= ．

②如圖7中，當(dāng)HF⊥AB于T時(shí)，

∵TB=4﹣2（4﹣t）=4﹣ t，解得t= ，

③如圖8中，當(dāng)HF∥AB時(shí)，∴ t+t=4，

∴t= ，

綜上所述，t= s或 s或 時(shí)，F(xiàn)H所在的直線平行或垂直于AB

【解析】（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)F在邊QH上時(shí)，易知AP=PQ=BQ，求出AB的長即可解決問題；（2）分兩種情形①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)F在GQ上時(shí)，易知AP=BQ=t，PD=PF= t．PQ=PF= t，列出方程即可解決問題；②如圖3中，重疊部分是四邊形GHRT時(shí)；（3）分三種種情形求解①如圖5中，當(dāng)FH⊥AB時(shí)，延長HF交AB于T，易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=t，PT= t；②如圖7中，當(dāng)FH∥AB時(shí)，易知AQ=PQ= t，BQ=t；分別列出方程即可解決問題．③如圖8中，當(dāng)HF∥AB時(shí)；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°，以及對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解，了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）．