Question

如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點p在BD上移動，當(dāng)PB=

 

時，△APB和△CPD相似．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：分類討論

分析：設(shè)出BP=xcm，由BD-BP=PD表示出PD的長，若△ABP∽△PDC，根據(jù)相似三角形的對銀邊成比例可得比例式，把各邊的長代入即可列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為PB的長．

解答：解：由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
設(shè)BP=xcm，則PD=（14-x）cm，
若△ABP∽△PDC，
則

AB

PD

=

6

14-x

，
即

6

14-x

=

x

4

，
變形得：14x-x²=24，即x²-14x+24=0，
因式分解得：（x-2）（x-12）=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
所以BP=2cm或12cm時，△ABP∽△PDC；
若△ABP∽△CDP，
則

AB

CD

=

BP

DP

，
即

6

4

=

x

14-x

，解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
綜上，BP=2cm或12cm或8.4cm時，△ABP∽△PDC．
故答案為：8.4cm或12cm或2cm．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)有相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等；相似三角形的判定方法有：1、兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似；2、兩對對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似；3、三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似，本題屬于條件開放型探究題，其解法：類似于分析法，假設(shè)結(jié)論成立，逐步探索其成立的條件．