Question

5．如圖，在正方形ABCD中，點E是邊AB的中點，過點A作DE的垂線，垂足為F，過點B作DE的垂線，垂足為G，過點A作BG的垂線，垂足為H．求證：四邊形AFGH是正方形．

Answer 1

分析 根據(jù)垂線的定義，可得∠AFG，∠FGH，∠AHG，根據(jù)矩形的判定，可得AHGF的形狀，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠DAF與∠HAB，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AH與AF的關(guān)系，根據(jù)正方形的定義，可得答案．

解答 證明：∵過點A作DE的垂線，垂足為F，過點B作DE的垂線，垂足為G，過點A作BG的垂線，垂足為H，
∴∠AFG=∠FGH=∠AHG=90°，
∴四邊形AFGH是矩形．
∵∠DAF+∠FAE=90°，∠HAB+∠FAE=90°，
∴∠DAF=∠BAH．
∵正方形ABCD，
∴AB=AD．
在△AFD和△AHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠HAB}\\{∠AFD=∠AHB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AHB（AAS），
∴AF=AH，
∴四邊形AFGH是正方形．

點評 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，利用了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)得出AF=AH是解題關(guān)鍵，又利用了正方形的判定．