Question

【題目】已知：如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，AD⊥BC于點D，動點F從點C出發(fā)，沿CB方向以1cm/s的速度向點D運動；同時，動點P也從點C出發(fā)，沿CA方向以3cm/s的速度向點A運動，過點P作PE∥BC，與邊AB交于點E，與AD交于點G，連結(jié)ED，PF．設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜2）．

（1）當t為何值時，四邊形EDFP為平行四邊形？

（2）設(shè)四邊形EDFP面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）連結(jié)PD、EF，當t為何值時，PD⊥EF？

Answer 1

【答案】（1）s；（2）y＝﹣3t2+t；（3）當t＝s時，PD⊥EF．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件可推出△APE是等邊三角形，由題意可得CP＝3t，CF＝t，則AP＝6﹣3t，PE＝6﹣3t，DF＝DC﹣CF＝3﹣t，根據(jù)四邊形EDFP為平行四邊形，列出方程求解即可得出答案；

（2）過點P作PH⊥BC于H，根據(jù)現(xiàn)有條件得出PH＝t，再根據(jù)y＝S△ABC﹣S△APE﹣S△PCF﹣S△EDB即可得出解析式；

（3）設(shè)PD交EF于點O，過點E作EH⊥BC于H，根據(jù)已知條件推出PG＝EG＝PE＝（6﹣3t），同（2）得：EH＝t，BH＝t，推出∠PDG＝∠OFD，即tan∠PDG＝tan∠OFD＝＝，據(jù)此列式求解即可．

解：（1）∵等邊△ABC中，AB＝6cm，AD⊥BC，

∴AC＝AB＝BC＝6，DC＝BD＝BC＝3，∠B＝∠C＝60°，

∵PE∥BC，

∴∠APE＝∠AEP＝∠B＝∠C＝60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴AP＝PE，

由題意得：CP＝3t，CF＝t，則AP＝6﹣3t，

∴PE＝6﹣3t，DF＝DC﹣CF＝3﹣t，

∵四邊形EDFP為平行四邊形，

∴PE＝DF，

∴6﹣3t＝3﹣t，

∴t＝，

∴當t＝s時，四邊形EDFP為平行四邊形；

（2）過點P作PH⊥BC于H，如圖1所示：

由勾股定理得：AD＝＝＝3，

∵∠C＝60°，

∴sin60°＝＝，

∴PH＝×3t＝t，

∵PE∥BC，AD⊥BC，PH⊥BC，

∴四邊形PGDH是矩形，

∴PH＝DG，

∴y＝S△ABC﹣S△APE﹣S△PCF﹣S△EDB

＝ADBC﹣（AD﹣PH）PE﹣PHCF﹣PHBD

＝×3×6﹣×（3t）×（6﹣3t）﹣×t×t﹣×t×3

＝﹣3t2+t；

（3）設(shè)PD交EF于點O，過點E作EH⊥BC于H，如圖2所示：

則四邊形EHDG是矩形，

∴EH＝DG，

∵△APE是等邊三角形，

∴PG＝EG＝PE＝（6﹣3t），

同（2）得：EH＝t，BH＝t，

∵PD⊥EF，

∴∠FOD＝90°，

∴∠OFD+∠ODF＝90°，

∵∠ODF+∠PDG＝90°，

∴∠PDG＝∠OFD，

∴tan∠PDG＝tan∠OFD＝＝，

∴＝，

∴2t2+11t﹣12＝0，

解得：t1＝，t2＝（不合題意舍去），

則當t＝s時，PD⊥EF．