Question

【題目】如圖1，直線y=﹣ x+8，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以AC為對(duì)角線作矩形OABC，點(diǎn)P、Q分別為射線OC、射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，且有AQ=2CP，連結(jié)PQ，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，t）．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）若t=1時(shí)，連接BQ，求△ABQ的面積．
（3）如圖2，以PQ為直徑作⊙I，記⊙I與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為E．

①若 = ，求此時(shí)t的值．
②若圓心I在△ABC內(nèi)部（不包含邊上），則此時(shí)t的取值范圍為是多少?

Answer 1

【答案】
（1）解：將x=0代入y=﹣ x+8，得y=8，∴C（0，8），

將y=0代入y=﹣ x+8，得x=6，∴A（6，0），

∵四邊形OABC是矩形，∴B（6，8）

（2）解：如圖1，

作QH⊥AB于H，當(dāng)t=1時(shí)，CP=7，AQ=14，

易證AC=10，sin∠BAC= ，

∴QH=AQsin∠BAC= ，

∴S△ABQ= ；

（3）解：分類：Ⅰ、如圖2，

當(dāng)P在線段OC上，Q在線段AC上時(shí)，即3＜＜8時(shí)，

易證 =sin∠EQP=sin∠ACO= ，∴∠EQP=∠ACO，∴CP=PQ，

∵PE⊥CQ，∴CE=EQ，∴2× （8﹣t）=10﹣（16﹣2t），解得t1= ，

Ⅱ、當(dāng)Q與C重合，P在OC上時(shí)，如圖3，

可得16﹣2t=10，解得t2=3，

Ⅲ、當(dāng)Q與C重合，P在OC延長線上時(shí)，如圖4，

可得2t﹣16=10，解得t3=13，

Ⅳ、當(dāng)P在OC延長線上，Q在AC延長線上時(shí)，如圖5，

同Ⅰ，可得∠Q=∠PCQ，

∴CP=PQ，∴ （2t﹣16﹣10）= （t﹣8），解得t4=33，

∴t= 或3或13或33；

②當(dāng)圓心I在邊AC上時(shí)，如圖6，P與C重合，Q與A重合，

∴OP=t=8，

當(dāng)圓心I在邊BC上時(shí)，設(shè)⊙I與x軸交于F，連接FQ，

∵PQ是直徑，

∴QF⊥x軸，

∴FQ∥OA，CP=CF=t﹣8，

∴△CQF∽△ACO，

∴ = ，即 = ，

∴t= ，

∴若圓心I在△ABC內(nèi)部（不包含邊上），則此時(shí)t的取值范圍為8＜t＜ ，

故答案為：8＜t＜

【解析】（1）將x=0代入y=﹣ x+8，得y=8，將y=0代入y=﹣ x+8，得x=6，于是得到結(jié)論；（2）如圖1，作QH⊥AB于H，當(dāng)t=1時(shí)，CP=7，AQ=14，解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC= ，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）Ⅰ、如圖2，當(dāng)P在線段OC上，Q在線段AC上時(shí)，解直角三角形得到解得t1= ，Ⅱ、當(dāng)Q與C重合，P在OC上時(shí)，如圖3，解得t2=3，Ⅲ、當(dāng)Q與C重合，P在OC延長線上時(shí)，如圖4，解得t3=13，Ⅳ、當(dāng)P在OC延長線上，Q在AC延長線上時(shí)，如圖5，同Ⅰ，解得t4=33；②當(dāng)圓心I在邊AC上時(shí)，如圖6，P與C重合，Q與A重合，求得OP=t=8，當(dāng)圓心I在邊BC上時(shí)，設(shè)⊙I與x軸交于F，連接FQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到t= ，于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．