【題目】如圖1,直線y=﹣ x+8,與x軸、y軸分別交于點A、C,以AC為對角線作矩形OABC,點P、Q分別為射線OC、射線AC上的動點,且有AQ=2CP,連結(jié)PQ,設(shè)點P的坐標(biāo)為P(0,t).

(1)求點B的坐標(biāo).
(2)若t=1時,連接BQ,求△ABQ的面積.
(3)如圖2,以PQ為直徑作⊙I,記⊙I與射線AC的另一個交點為E.

①若 = ,求此時t的值.
②若圓心I在△ABC內(nèi)部(不包含邊上),則此時t的取值范圍為是多少?

【答案】
(1)解:將x=0代入y=﹣ x+8,得y=8,∴C(0,8),

將y=0代入y=﹣ x+8,得x=6,∴A(6,0),

∵四邊形OABC是矩形,∴B(6,8)


(2)解:如圖1,

作QH⊥AB于H,當(dāng)t=1時,CP=7,AQ=14,

易證AC=10,sin∠BAC= ,

∴QH=AQsin∠BAC= ,

∴S△ABQ= ;


(3)解:分類:Ⅰ、如圖2,

當(dāng)P在線段OC上,Q在線段AC上時,即3<<8時,

易證 =sin∠EQP=sin∠ACO= ,∴∠EQP=∠ACO,∴CP=PQ,

∵PE⊥CQ,∴CE=EQ,∴2× (8﹣t)=10﹣(16﹣2t),解得t1= ,

Ⅱ、當(dāng)Q與C重合,P在OC上時,如圖3,

可得16﹣2t=10,解得t2=3,

Ⅲ、當(dāng)Q與C重合,P在OC延長線上時,如圖4,

可得2t﹣16=10,解得t3=13,

Ⅳ、當(dāng)P在OC延長線上,Q在AC延長線上時,如圖5,

同Ⅰ,可得∠Q=∠PCQ,

∴CP=PQ,∴ (2t﹣16﹣10)= (t﹣8),解得t4=33,

∴t= 或3或13或33;

②當(dāng)圓心I在邊AC上時,如圖6,P與C重合,Q與A重合,

∴OP=t=8,

當(dāng)圓心I在邊BC上時,設(shè)⊙I與x軸交于F,連接FQ,

∵PQ是直徑,

∴QF⊥x軸,

∴FQ∥OA,CP=CF=t﹣8,

∴△CQF∽△ACO,

= ,即 = ,

∴t=

∴若圓心I在△ABC內(nèi)部(不包含邊上),則此時t的取值范圍為8<t< ,

故答案為:8<t<


【解析】(1)將x=0代入y=﹣ x+8,得y=8,將y=0代入y=﹣ x+8,得x=6,于是得到結(jié)論;(2)如圖1,作QH⊥AB于H,當(dāng)t=1時,CP=7,AQ=14,解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC= ,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;(3)Ⅰ、如圖2,當(dāng)P在線段OC上,Q在線段AC上時,解直角三角形得到解得t1= ,Ⅱ、當(dāng)Q與C重合,P在OC上時,如圖3,解得t2=3,Ⅲ、當(dāng)Q與C重合,P在OC延長線上時,如圖4,解得t3=13,Ⅳ、當(dāng)P在OC延長線上,Q在AC延長線上時,如圖5,同Ⅰ,解得t4=33;②當(dāng)圓心I在邊AC上時,如圖6,P與C重合,Q與A重合,求得OP=t=8,當(dāng)圓心I在邊BC上時,設(shè)⊙I與x軸交于F,連接FQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到t= ,于是得到結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識點,需要掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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單價

不超出的部分

/

超出不超出的部分

/

超出的部分

/

注:水費按月結(jié)算.

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