Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)的圖象是第二、四象限的角平分線．

（1）實(shí)驗(yàn)與探究：由圖觀察易知A（－1，3）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，1），請你寫出點(diǎn)B（5，3）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；

（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：結(jié)合圖形，自己選點(diǎn)再試一試，通過觀察點(diǎn)的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（m ，n）關(guān)于第二、四象限的角平分線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；

（3）運(yùn)用與拓廣：已知兩點(diǎn)C（6 ， 0），D（2 ， 4），試在直線上確定一點(diǎn)，使這點(diǎn)到C，D兩點(diǎn)的距離之和最小，在圖中畫出這點(diǎn)的位置，保留作圖痕跡，并求出這點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（－3，－5）．（2）（－n，－m）．（3）作圖參見解析，E（1 ，－1）．

【解析】試題分析：（1）由觀察得知，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，橫縱坐標(biāo)顛倒，且是原數(shù)的相反數(shù)即B′（-3，-5）；（2）通過選點(diǎn)驗(yàn)證，坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（m ,n）關(guān)于第二、四象限的角平分線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-n,-m）；（3）先描點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)找到C,D兩點(diǎn)，然后在直線上確定一點(diǎn)E，，使這點(diǎn)到C，D兩點(diǎn)的距離之和最小，作點(diǎn)C關(guān)于直線 L的對稱點(diǎn)，連接D，交 L于點(diǎn)E，由線段垂直平分線性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可知E點(diǎn)即為所求，根據(jù)前面的規(guī)律把C′點(diǎn)坐標(biāo)寫出來，再把DC′的解析式求出來，和直線y=-x組成方程組求解，

試題解析：（1）由觀察得知，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，橫縱坐標(biāo)顛倒，且是原數(shù)的相反數(shù)，B（5,3）顛倒后是（3,5），再是原數(shù)的相反數(shù)是（-3，-5），∴（－3，－5）．（2）通過選點(diǎn)驗(yàn)證，坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（m ,n）關(guān)于第二、四象限的角平分線的對稱點(diǎn)為（－n，－m）；（3）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線 L的對稱點(diǎn)，連接D，交 L于點(diǎn)E，連接CE．由作圖可知，EC= E，∴EC + ED = E+ ED =D ．因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，∴點(diǎn)E為所求．∵C（6，0），∴（0，－6）．設(shè)直線D的解析式為．∵D（2 , 4），∴．∴直線D的解析式為．由得，∴E（1 , －1）．