Question

如圖，⊙O的半徑是4，PA、PB分別與⊙O相切于點A、點B，若PA與PB之間的夾角∠APB=60°，
（1）若點C是圓上的一點，試求∠ACB的大小；
（2）求△ABP的周長．

Answer 1

解：（1）∵PA、PB分別與⊙O相切于點A、點B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，
當C在優(yōu)弧AB上時，∠ACB=∠AOB=60°，
當C在劣弧AB上時，∠ACB=180°-60°=120°；

（2）
連接OP，
∵PA、PB分別與⊙O相切于點A、點B，∠APB=60°，
∴PA=PB，∠APO=∠APB=30°，
∴△APB是等邊三角形，
∴PA=AB=PB，
∵∠PAO=90°，∠APO=30°，OA=4，
∴OP=2AO=8，由勾股定理得：AP=4，
∴△ABP的周長是AP+AB+BP=3×4=12．
分析：（1）根據(jù)切線性質(zhì)得出∠PAO=∠PBO=90°，求出∠AOB，根據(jù)圓周角定理求出即可；
（2）連接OP，求出△APB是等邊三角形，∠APO=30°，求出OP，求出AP，即可求出答案．
點評：本題考查了圓周角定理，直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應用，綜合性比較強，有一定的難度，是一道比較常見的題目．