Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線分別與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線EF垂直平分線段BC，分別交BC于點(diǎn)E，y軸于點(diǎn)F，交x軸于D．

判定的形狀；

在線段BC下方的拋物線上有一點(diǎn)P，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積的最大值；

如圖，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)H，將繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊分別交線段BO，CO于點(diǎn)T，點(diǎn)K，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)KT的值．

Answer 1

【答案】 △ABC為直角三角形； 當(dāng)時(shí)，面積最大，最大面積為，此時(shí)； 當(dāng)是等腰三角形時(shí)，KT的值為或．

【解析】

（1）結(jié)論：△ABC是直角三角形．求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理證明即可．
（2）作P作PG∥y軸，交BC于G，先利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式為：，設(shè)P（x，），則G（x，），根據(jù)三角形面積公式表示△BCP面積，配方可得結(jié)論；
（3）①如圖，當(dāng)K與O重合，T與D重合時(shí)，△EKT的等腰三角形，求出KT即可解決問題．②如圖，當(dāng)TE=KE時(shí)，作KN⊥CE于N，EQ⊥OC于Q，則四邊形OQEH是矩形，由△KEN≌△ETH，推出KN=EH=1，再想辦法求出OK，OT即可解決問題．

為直角三角形，理由如下：

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，，

解得：，，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

，，．

，

為直角三角形．

如圖，過P作軸，交BC于G，

點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

易得直線BC的解析式為：，

設(shè)，則，

，

，

是直線BC下方拋物線上的點(diǎn)，

，

當(dāng)時(shí)，面積最大，最大面積為，此時(shí)；

如下圖中，

在中，，

，

，

，，

，

，

當(dāng)K與O重合，T與D重合時(shí)，是等腰三角形，

易知，

，

．

如圖，當(dāng)時(shí)，作于N，于Q，則四邊形OQEH是矩形，

易知：，，

，，

，

，

，

，，

≌，

，

在中，易知，，

，

，

，，

，

．

綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，KT的值為或．