Question

【題目】已知△ABC是邊長為的等邊三角形．將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O．

（1）如圖a，當θ=20°時，判斷△ABD與△ACE是否全等？并說明理由；

（2）當△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時（60°＜θ＜120°），求∠BOE的度數(shù)；

（3）在θ從60°到120°的旋轉(zhuǎn)過程中，點O運動的軌跡長為 ．

Answer 1

【答案】(1)全等，理由見解析；（2）120°；（3）．

【解析】

（1）結(jié)論：△ABD≌△ACE．根據(jù)SAS證明即可．
（2）利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
（3）如圖b中，AD交AE于J．設(shè)△ABC的外接圓的圓心為K．證明∠AOC=120°，推出點O的運動軌跡是K為圓心，KC半徑的圓弧，圓心角為60°從而可以求得運動的軌跡．

解：（1）結(jié)論：△ABD≌△ACE．

∵△ADE是由△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)θ得到，∴△ABC是等邊三角形．

∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°，

在△ABD與△ACE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

（2）由已知得：△ABC和△ADE是全等的等邊三角形，∴AB＝AD＝AC＝AE．

∵△ADE是由△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)θ得到的，∴∠BAD＝∠CAE＝θ．

∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴∠ADB＝∠AEC．

∵∠ADB＋∠ABD＋∠BAD＝180°，∴∠AEC＋∠ABO＋∠BAD＝180°．

∵∠ABO＋∠AEC＋∠BAE＋∠BOE＝360°，∠BAE＝∠BAD＋∠DAE，

∴∠DAE＋∠BOE＝180°．

又∵∠DAE＝60°，∴∠BOE＝120°．

（3）如圖b中，AD交AE于J．設(shè)△ABC的外接圓的圓心為K．

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ODJ=∠AEJ，
∵∠AJE=∠OJD，
∴∠EAJ=∠JOD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴點O的運動軌跡是K為圓心，KC半徑的圓弧，圓心角為60°．
∴當θ從60°到120°的旋轉(zhuǎn)過程中，運動的軌跡為=，
故答案為：．