Question

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，BE⊥AC于點(diǎn)E，EB的延長(zhǎng)線與∠ADC的角平線相交于點(diǎn)F，DF交AC于點(diǎn)M，求證：AC=BF．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：由矩形的性質(zhì)可得∠COB=2∠CDO，∠EBO=∠BDF+∠F，結(jié)合角平分線的定義可求得∠F=∠BDF，可證明BF=BD，結(jié)合矩形的性質(zhì)可得AC=BF．

解答：證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，OC=OD，
∴∠COB=2∠CDO，
又∵BE⊥AC，
∴∠COB+∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠BDF+∠F，
∴2∠CDO+∠BDF+∠F=90°，
又∵DF平分∠ADC，
∴∠CDO+∠BDF=

1

2

∠ADC=45°，
∴2∠CDO+∠BDF+∠F=45°+∠CDO+∠F=90°，
∴∠CDO+∠F=45°，
又∵∠BDF+∠CDO=45°，
∴∠BDF=∠F，
∴BF=BD，
∴AC=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)，掌握矩形的四個(gè)角都是直角、對(duì)角線互相平分且相等是解題的關(guān)鍵，注意三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用．