Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，于點(diǎn)交軸于點(diǎn)，滿足．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、．

求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

連接，點(diǎn)在線段上方的拋物線上，連接、，若和面積滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

如圖，為中點(diǎn)，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接．一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿著線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止．若點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少，請直接寫出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用的最少時(shí)間秒，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）先利用OC=3和4CN=5ON計(jì)算出ON=，再證明△AON∽△COB，利用相似比計(jì)算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交點(diǎn)式可求出拋物線解析式為y=-x2+x+3；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-x+3，作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設(shè)P（x，-x2+x+3），則Q（x，-x+3），再計(jì)算出DQ=-x2+3x，根據(jù)三角形面積公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根據(jù)S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)F（m，-x+3）利用兩點(diǎn)間的距離公式得到EF=，CF=x，則點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間t=EF+=EF+CF，根據(jù)不等式公式得到EF+CF≥，當(dāng)EF=CF時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)t最小，解方程x2-x+13=（x）2得x1=2，x2=（舍去），于是得到點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用的最少時(shí)間2××2=3秒，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，）．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，解得，

∴，

設(shè)拋物線解析式為，

把代入得，解得，

∴拋物線解析式為；設(shè)直線的解析式為，

把，代入得，解得，

∴直線的解析式為，

作軸交于，如圖，設(shè)，則，

，

∴，

∵，

∴，

整理得，解得，，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為或；設(shè)，則，，

點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)最小，

即，

整理得，解得，（舍去），

∴點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用的最少時(shí)間秒，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．