Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A（12，0），在B在拋物線上，已知OB⊥BA，且∠A＝30°．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）如圖2，點(diǎn)P為OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若連接AP交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，試用含有t的代數(shù)式表示m，不要求寫取值范圍．

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OW⊥AP于W，并交線段AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)W的直線交OP延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)K，若∠WKA＝2∠OAP，且NK＝11，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)及WG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2）m＝；（3）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，WG＝

【解析】

（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y＝ax2+bx即可得解；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥OA于點(diǎn)Q，P(t，t)，M(m，﹣)，由PH∥MQ可得，則可得出答案；

（3）取OA的中點(diǎn)R，連結(jié)WR，證得WR＝WK，求出WN＝11﹣6＝5，可證明∠POW＝2∠N，取OP的中點(diǎn)，連結(jié)TW，證得∠N＝∠NTW，求出OP＝10，可求出t，m的值，求出tan，則OW＝12×，可求出OG的長(zhǎng)，則答案可求出．

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，

∵A(12，0)，

∴OA＝12，

∵∠A＝30°，

∴OB=6，

∴AB=6，

∴，

∴B(3，3)，

∵拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，3)和點(diǎn)A(12，0)，

∴，

解得，

∴y＝﹣；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥OA于點(diǎn)Q，P(t，t)，M(m，﹣)，

∵PH//MQ，

∴∠APH=∠AMQ，

∵∠AHP=∠AQM=90°，

∴△APH∽△AMQ，

∴，

∴，

∴，

∴，

即m＝；

（3）取OA的中點(diǎn)R，連結(jié)WR，

∵OW⊥AP，

∴WR＝RA＝OR，

∴∠OAP＝∠RWA，

∴∠ORW＝2∠OAP，

∵∠WKA＝2∠OAP，

∴∠ORW＝∠WKA，

∴∠WRK＝∠WKO，

∴WR＝WK，

∴，

∴NW＝NK﹣WK＝11﹣6＝5，

∵∠POW＝∠BAW＝∠OAP﹣∠OAB＝α﹣30°，

∠N＝∠AKW﹣∠AOB＝2α﹣60°，

∴∠POW＝2∠N，

取OP的中點(diǎn)，連結(jié)TW，

∴∠N＝∠NTW，

∴，

∴OP＝10，

∴t2+3t2＝100，

∴t＝5，

∴＝．

即M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

∴點(diǎn)P到x軸的距離是5，

∴tan，

∴OW：AW：OA＝5：7：2，

∴OW＝12×，

又∵，，OA＝12，

∴＝，

∴WG＝．