Question

【題目】在學(xué)習(xí)了矩形這節(jié)內(nèi)容之后，明明同學(xué)發(fā)現(xiàn)生活中的很多矩形都很特殊，如我們的課本封面、A4 的打印紙等，這些矩形的長與寬之比都為：1，我們將具有這類特征的矩形稱為“完美矩形”如圖（1），在“完美矩形”ABCD 中，點 P 為 AB 邊上的定點，且 AP＝AD．

（1）求證：PD＝AB．

（2）如圖（2），若在“完美矩形“ABCD 的邊 BC 上有一動點 E，當(dāng)的值是多少時，△PDE 的周長最小？

（3）如圖（3），點 Q 是邊 AB 上的定點，且 BQ＝BC．已知 AD＝1，在（2）的條件下連接 DE 并延長交 AB 的延長線于點 F，連接 CF，G 為 CF 的中點，M、N 分別為線段 QF 和 CD 上的動點，且始終保持 QM＝CN，MN 與 DF 相交于點 H，請問 GH 的長度是定值嗎？若是，請求出它的值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2） （3）

【解析】

（1）根據(jù)題中“完美矩形”的定義設(shè)出AD與AB，根據(jù)AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得證；

（2）如圖，作點P關(guān)于BC的對稱點P′，連接DP′交BC于點E，此時△PDE的周長最小，設(shè)AD=PA=BC=a，表示出AB與CD，由AB-AP表示出BP，由對稱的性質(zhì)得到BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；

（3）GH=，理由為：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性質(zhì)得到MF=DN，利用AAS得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到FH=DH，再由G為CF中點，得到HG為中位線，利用中位線性質(zhì)求出GH的長即可．

（1）在圖1中，設(shè)AD=BC=a，則有AB=CD=a，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∵PA=AD=BC=a，

∴PD==a，

∵AB=a，

∴PD=AB；

（2）如圖，作點P關(guān)于BC的對稱點P′，

連接DP′交BC于點E，此時△PDE的周長最小，

設(shè)AD=PA=BC=a，則有AB=CD=a，

∵BP=AB-PA，

∴BP′=BP=a-a，

∵BP′∥CD，

∴ ；

（3）GH=，理由為：

由（2）可知BF=BP=AB-AP，

∵AP=AD，

∴BF=AB-AD，

∵BQ=BC，

∴AQ=AB-BQ=AB-BC，

∵BC=AD，

∴AQ=AB-AD，

∴BF=AQ，

∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB，

∵AB=CD，

∴QF=CD，

∵QM=CN，

∴QF-QM=CD-CN，即MF=DN，

∵MF∥DN，

∴∠NFH=∠NDH，

在△MFH和△NDH中，

，

∴△MFH≌△NDH（AAS），

∴FH=DH，

∵G為CF的中點，

∴GH是△CFD的中位線，

∴GH=CD= ×2=．