【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=,AD=4,在BC邊上取點E,使BE=AB,將△ABE向左平移到△DCF的位置,得到四邊形AEFD.
(1)求證:四邊形AEFD是菱形;
(2)如圖2,將△DCF繞點D旋轉(zhuǎn)至△DGA,連接GE,求線段GE的長;
(3)如圖3,設(shè)P、Q分別是EF、AE上的兩點,且∠PDQ=67.5°,試探究線段PF、AQ、PQ之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)PQ2=PF2+AQ2,理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)平移的性質(zhì)得到AE∥DF,AE=DF,則由此判斷四邊形AEFD是平行四邊形,然后由:鄰邊相等的平行四邊形是菱形,證得結(jié)論;
(2)根據(jù)勾股定理,即可求解;(3)如下圖,作輔助線,構(gòu)建三角形全等,證明△PDQ≌△GDQ,得PQ=GQ,在Rt△AGQ中,根據(jù)勾股定理可得結(jié)論.
(1)由平移,得AE∥DF,AE=DF,
∴四邊形AEFD是平行四邊形.
∵矩形ABCD,∴∠B=90°,∵BE=AE=,
∴AE=4,
又∵AE=AD=4,
∴四邊形AEFD是菱形.
(2)由(1)得:△ABE是等腰直角三角形∴∠AEB=45°,
∵AE∥DF,
∴∠F=∠AEB=45°,
∵矩形ABCD,∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB=45°,
∴∠GAE=90°,
∵△DCF繞點D旋轉(zhuǎn)得到△DGA,
∴GA=CF=,
∴.
(3)PF、AQ、PQ之間的數(shù)量關(guān)系為:
PQ2=PF2+AQ2.
理由如下:
由(2)得:∠AEB=45°,∴∠ADF=∠AEF=135°,∵AD=DF,
∴將△DFP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)135°得△DAG,
連GQ,如圖,∴GA=PF,DG=DP,∠GDA=∠PDF,∠GAD=∠F=45°,
∴∠GAQ=∠GAD+∠DAE=90°,
∴GQ2=GA2+AQ2=PF2+AQ2;
又∵∠ADF=135°,而∠PDQ=67.5°,∴∠PDF+∠ADQ=135°﹣67.5°=67.5°,
∴∠GDA+∠ADQ=∠GDQ=67.5°,∴∠PDQ=∠GDQ
而DG=DP,DQ為公共邊,∴△PDQ≌△GDQ,
∴PQ=GQ,
∴PQ2=PF2+AQ2.
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=16cm,BC=10cm,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由點B向點C運動,同時,點Q在線段CA上由點C向點A運動,當(dāng)以B、P、D為頂點的三角形與以C、Q、P為頂點的三角形全等時,點Q的速度可能為_____.
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【題目】已知二次函數(shù)與x軸有交點.
(1)求m的取值范圍;
(2)如果該二次函數(shù)的圖像與x軸的交點分別為(x1,0),(x2,0),且2 x1 x2+ x1+ x2≥20,求m的取值范圍.
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【題目】閱讀下面材料:
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點.
觀察圖象可知:
①當(dāng)x=﹣3或1時,y1=y2;
②當(dāng)﹣3<x<0或x>1時,y1>y2,即通過觀察函數(shù)的圖象,可以得到不等式ax+b>的解集.
有這樣一個問題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)以上知識的經(jīng)驗,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進行了探究.
下面是他的探究過程,請將(2)、(3)、(4)補充完整:
(1)將不等式按條件進行轉(zhuǎn)化:
當(dāng)x=0時,原不等式不成立;
當(dāng)x>0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1>;
當(dāng)x<0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1<;
(2)構(gòu)造函數(shù),畫出圖象
設(shè)y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象.
雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標(biāo)系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo)
觀察所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 ;
(4)借助圖象,寫出解集
結(jié)合(1)的討論結(jié)果,觀察兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為 .
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【題目】已知A(﹣4,2)、B(n,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象的兩個交點;
(1)求此反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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【題目】“蓮城讀書月”活動結(jié)束后,對八年級(三)班45人所閱讀書籍?dāng)?shù)量情況的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:
閱讀數(shù)量 | 1本 | 2本 | 3本 | 3本以上 |
人數(shù)(人) | 10 | 18 | 13 | 4 |
根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,閱讀2本書籍的人數(shù)最多,這個數(shù)據(jù)2是( )
A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差
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【題目】我們用[a]表示不大于a的最大整數(shù),例如:[2.5]=2,[3]=3,[-2.5]=-3,用<a>表示大于a的最小整數(shù).例如:<2.5>=3,<4>=5,<-1.5>=-1.解決下列問題:
(1)[-2.6]=______,<6.2>=______.
(2)已知x,y滿足方程組,則[x]=______,<y>=______,x的取值范圍是______,y的取值范圍是______.
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【題目】如圖,P是等腰直角△ABC外一點,把BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A∶P′C=1∶3,則P′A∶PB=( )
A. 1∶ B. 1∶2 C. ∶2 D. 1∶
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【題目】為了增強學(xué)生的安全意識,某校組織了一次全校1500名學(xué)生都參加的“安全知識”考試,考題共10題.考試結(jié)束后,學(xué)校隨機抽查部分考生的考卷,對考生答題情況進行分析統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)所抽查的考卷中答對題量最少為6題,并且繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解答以下問題:
(1)本次抽查的樣本容量是 ;在扇形統(tǒng)計圖中,m= ,n= ,“答對10題”所對應(yīng)扇形的圓心角為 度;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)請根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果,估算出該校答對超過7題的學(xué)生人數(shù).
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