Question

如圖，?ABDC中，BN⊥AB，交AD于點(diǎn)N，CM⊥CD，交AD于點(diǎn)M，連接BM、CN
（1）求證：四邊形CMBN是平行四邊形；
（2）若點(diǎn)M、N是AD的三等分點(diǎn)，且AC=5，AB=8，求CM的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，得出∠CDM=∠BAN，然后通過△DCM≌△ABN求得CM=BN，∠DMC=∠ANB，進(jìn)而求得CM∥BN，最后根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證得；
（2）延長(zhǎng)CM交AB于E，由點(diǎn)M、N是AD的三等分點(diǎn)，得出E為AB的中點(diǎn)，ME是三角形ABN的中位線，然后根據(jù)勾股定理求得CE的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的中位線定理即可求得BN的長(zhǎng)，進(jìn)而求得CM的長(zhǎng)；

解答：（1）證明：∵?ABDC中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠CDM=∠BAN，
又∵BN⊥AB，CM⊥CD，
∴∠MCD=∠ABN，
在△DCM和△ABN中，

∠CDM=∠BAN AB=CD ∠MCD=∠ABN

，
∴△DCM≌△ABN（ASA），
∴CM=BN，∠DMC=∠ANB，
∴CM∥BN，
∴四邊形CMBN是平行四邊形；

（2）解：延長(zhǎng)CM交AB于E，
∵點(diǎn)M、N是AD的三等分點(diǎn)，
∴MN=AM，
∵四邊形CMBN是平行四邊形，
∴CE∥BN，
∴AE=EB=

1

2

AB=4，
∴ME是△ABN的中位線，
∴ME=

1

2

BN，
∵AB∥CD，CM⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴CE=

AC2-AE2

=

52-42

=3，
∵CM=BN，
∴ME=CE-CM=CE-BN，
∴CE-BN=

1

2

BN，
即3-BN=

1

2

BN，
∴BN=2，
∴CM=2；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、三角形的中位線定理等，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定定理是本題的關(guān)鍵；