某高科技發(fā)展公司投資500萬元,成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的高科技替代產(chǎn)品,并投入資金1500萬元進(jìn)行批量生產(chǎn).已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí),年銷售量為20萬件;銷售單價(jià)每增加10元,年銷售量將減少1萬件.設(shè)銷售單價(jià)為x(元),年銷售量為y(萬件),年獲利(年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-投資)為z(萬元).
(1)試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍);
(2)試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍);
(3)計(jì)算銷售單價(jià)為160元時(shí)的年獲利,并說明同樣的年獲利,銷售單價(jià)還可以定為多少元?相應(yīng)的年銷售量分別為多少萬件?
(4)公司計(jì)劃:在第一年按年獲利最大確定的銷售單價(jià),進(jìn)行銷售;第二年年獲利低于1130萬元.請(qǐng)你借助函數(shù)的大致圖象說明,第二年的銷售單價(jià)x(元)確定在什么范圍內(nèi)?
解:(1)依題意知:當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí),年銷售量減少(x-100)萬件 ∴y=20-(x-100)=-x+30 即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:y=-x+30 (2)由題意得:z=(30-x)(x-40)-500-1500=-x2+34x-3200 即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:z=-x2+34x-3200 (3)∵當(dāng)x取160時(shí),z=-×1602+34×160-3200=-320 ∴-320=-x2+34x-3200 整理,得x2-340x+28800=0 由根與系數(shù)的關(guān)系,得160+x=340 ∴x=180 即同樣的年獲利,銷售單價(jià)還可以定為180元 當(dāng)x=160時(shí),y=-×160+30=14 當(dāng)x=180時(shí),y=-×180+30=12 即相應(yīng)的年銷售量分別為14萬件和12萬件 (4)∵z=-x2+34x-3200=-(x-170)2-310 ∴當(dāng)x=170時(shí),z取最大值,最大值為-310 也就是說:當(dāng)銷售單價(jià)定為170元時(shí),年獲利最大,并且到第一年年底公司還差310萬元就可收回全部投資. 第二年的銷售單價(jià)定為x元時(shí),則年獲利為: z=(30-x)(x-40)-310 。剑x2+34x-1510 當(dāng)z=1130時(shí),即1130=-x2+34x-1510 整理,得x2-340x+26400=0 解得x1=120,x2=220 函數(shù)z=-x2+34x-1510的圖象大致如圖所示: 由圖象可以看出:當(dāng)120≤x≤220時(shí),z≥1130 所以第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi). |
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