Question

如圖，在平角直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象分別交于一、三象限的A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，線段OC=2，A點(diǎn)坐標(biāo)為（n，3），且cos∠ACO=

4

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，由cos∠AOE=

4

5

，OC=2，再根據(jù)勾股定理得到CE，即得到A點(diǎn)坐標(biāo)（2，3），把A（2，3）代入y=

a

x

，確定反比例函數(shù)的解析式；然后把A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b（k≠0）即可得出兩函數(shù)解析式．
（2）先聯(lián)立兩函數(shù)解析式得出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算△AOB的面積即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（n，3），且cos∠ACO=

4

5

，
∴AE=3，設(shè)CE=4x，則AC=5x，
在Rt△ACE中，AE²+EC²=AC²，
則3²+（4x）²=（5x）²，
解得：x=1，
故EC=4，AC=5，
∵CO=2，∴EO=2，
故A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為：y=

a

x

，將A（2，3）點(diǎn)代入得出：xy=a，即2×3=6=a，
故反比例函數(shù)解析式為：y=

6

x

；
設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b，將A（2，3），C（-2，0）點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

2k+b=3 -2k+b=0

，
解得：

k= 3 4 b= 3 2

，
故一次函數(shù)的解析式為：y=

3

4

x+

3

2

，

（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，
將反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式兩函數(shù)聯(lián)立得出：

y= 6 x y= 3 4 x+ 3 2

，
解得：

x1=2 y1=3

，

x2=-4 y2=- 3 2

，
故B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，-

3

2

），
故BF=

3

2

，
∵AE=3，CO=2，
∴△AOB的面積=S_△ACO+S_△BCO
=

1

2

×AE×CO+

1

2

×CO×BF
=

1

2

×2×3+

1

2

×2×

3

2

=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦的定義、勾股定理以及三角形面積公式和點(diǎn)的坐標(biāo)的求法和點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式，得出A點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．