Question

【題目】提出問題：（1）如圖①，正方形ABCD中，點E，點F分別在邊AD和邊CD上，若正方形邊長為4，DE+DF＝4，則四邊形BEDF的面積為　 ．

探究問題：（2）如圖②，四邊形ABCD，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，點E、F分別是邊AD和邊DC上的點，連接BE，BF，若ED+DF＝3，BD＝2，求四邊形EBFD的面積；

解決問題：（3）某地質(zhì)勘探隊為了進行資源助測，建立了如圖③所示的一個四邊形野外勘查基地，基地相鄰兩側(cè)邊界DA、AB長度均為4km，∠DAB＝90°，由于勘測需要及技術(shù)原因，主勘測儀C與基地邊緣D、B夾角為90°（∠DCB＝90°），在邊界CD和邊界BC上分別有兩個輔助勘測儀E和F，輔助勘測儀E和F與主勘測儀C的距離之和始終等于4km（CE+CF＝4）．為了達到更好監(jiān)測效果，需保證勘測區(qū)域（四邊形EAFC）面積盡可能大．請問勘測區(qū)域面積有沒有最大值，如果有求出最大值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）；（3）有，四邊形EAFC的面積最大值為8km2

【解析】

提出問題：

（1）由四邊形BEDF的面積＝S△DEB+S△DFB，可求解；

探究問題：

（2）如圖②，連接AC，過點B作BM⊥AD，BN⊥CD，通過證明點A，點B，點C，點D四點共圓，可得∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求BM＝BN＝MD＝，由四邊形BEDF的面積＝S△DEB+S△DFB，可求解；

解決問題：

（3）如圖③，連接AC，BD，過點A作AM⊥CD，AN⊥BC，通過證明點A，點B，點C，點D四點共圓，且BD是直徑，可得∠ACM＝∠ABD＝45°，∠ADB＝∠ACB＝45°，由直角三角形的性質(zhì)可求AM＝CM＝AC，AN＝CN＝AC，由面積關(guān)系可求解．

解：提出問題：

（1）如圖①，連接BD，

∵四邊形BEDF的面積＝S△DEB+S△DFB，

∴四邊形BEDF的面積＝DE×AB+DF×BC＝×4×（DE+DF）＝8，

故答案為：8；

探究問題：

（2）如圖②，連接AC，過點B作BM⊥AD，BN⊥CD，

∵AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，

∵∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，

∴點A，點B，點C，點D四點共圓，

∴∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，

∵BM⊥AD，BN⊥CD，

∴∠MBD＝30°，∠DBN＝30°，且BD＝2，

∴MD＝DN＝BD＝，

∴BM＝BN＝MD＝，

∵四邊形BEDF的面積＝S△DEB+S△DFB，

∴四邊形BEDF的面積＝DE×BM+×DF×BN＝××（DE+DF）＝；

解決問題：

（3）如圖③，連接AC，BD，過點A作AM⊥CD，AN⊥BC，

∵AB＝AD＝4km，∠DAB＝90°，

∴∠ADB＝∠ABD＝45°，BD＝4km，

∵∠DAB+∠BCD＝90°+90°＝180°，

∴點A，點B，點C，點D四點共圓，且BD是直徑，

∴∠ACM＝∠ABD＝45°，∠ADB＝∠ACB＝45°，

∵AM⊥CD，AN⊥BC，

∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∠NAC＝∠ACN＝45°，

∴AM＝CM＝AC，AN＝CN＝AC，

∵四邊形EAFC的面積＝S△ACE+S△AFC，

∴四邊形EAFC的面積＝CE×AM+×CF×AN＝×AM×（CE+CF）＝AC×4＝AC，

∴當AC為最大值時，四邊形EAFC的面積有最大值，

∵AC是以BD為直徑的圓中的弦，

∴AC的最大值為直徑，

∴當AC＝4km，四邊形EAFC的面積最大值為8km2．