Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+x﹣4與x軸交于A，B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線上的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，過點(diǎn)E作直線l1∥x軸．

（1）點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC的下方，點(diǎn)M，N分別為x軸，直線l1上的動(dòng)點(diǎn)，且MN⊥x軸，當(dāng)△APC面積最大時(shí)，求PM+MN+EN的最小值；

（2）過（1）中的點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為F，且直線PD與y軸交于點(diǎn)D，把△DFC繞頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)45°，得到△D'FC'，再把△D'FC'沿直線PD平移至△D″F′C″，在平面上是否存在點(diǎn)K，使得以O，C″，D″，K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在直接寫出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)K的坐標(biāo)為（，﹣）或（2+，﹣2﹣）．

【解析】

（1）過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，在PG上截取PP'＝MN，連接P'N，以NE為斜邊在直線NE上方作等腰Rt△NEQ，過點(diǎn)P'作P'R⊥EQ于點(diǎn)R，先利用二次函數(shù)的解析式求出A，B，C，E的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，利用E點(diǎn)坐標(biāo)得出PP'＝MN＝，然后設(shè)出點(diǎn)P（t，t2+t﹣4）H（t，﹣t﹣4），用含t的代數(shù)式表示出△APC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△APC的面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P,的坐標(biāo)，然后利用平行四邊形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出PM+MN+EN＝PP'+P'N+ NQ＝+P'N+NQ，所以當(dāng)點(diǎn)P'、N、Q在同一直線上時(shí)，P'N+NQ＝P'R最小，即PM+MN+ EN＝+P'R，分別用待定系數(shù)法求出直線 的表達(dá)式，聯(lián)立求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，最后利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，則答案可求；

（2）先求出D,F點(diǎn)的坐標(biāo)，得出△CDF是等腰直角三角形，然后分兩種情況討論：把△DFC繞頂點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)以O，，K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形， 不可能為邊，只能以為鄰邊構(gòu)成菱形，然后利用菱形的性質(zhì)即可求解；把△DFC繞頂點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△D'FC'，以O，，K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，只能為對(duì)角線，從而求出K的坐標(biāo)即可．

（1）如圖1，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，在PG上截取PP'＝MN，連接P'N，

以NE為斜邊在直線NE上方作等腰Rt△NEQ，過點(diǎn)P'作P'R⊥EQ于點(diǎn)R

∵x＝0時(shí)，y＝x2+x﹣4＝﹣4

∴C（0，﹣4）

∵y＝0時(shí)，x2+x﹣4＝0

解得：x1＝﹣4，x2＝2

∴A（﹣4，0），B（2，0）

設(shè)直線AC的解析式為

將代入解析式中得

解得

∴直線AC解析式為

∵拋物線上的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3

∴yE＝×32+3﹣4＝

∴E（3，），直線l1：y＝

∵點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在直線l1上，MN⊥x軸

∴PP'＝MN＝

設(shè)拋物線上的點(diǎn)P（t，t2+t﹣4）（﹣4＜t＜0）

∴H（t，﹣t﹣4）

∴PH＝﹣t﹣4﹣（t2+t﹣4）＝﹣t2﹣2t

∴S△APC＝S△APH+S△CPH＝PHAG+PHOG＝PHOA＝2PH＝﹣t2﹣4t

∴當(dāng)t＝﹣＝﹣2時(shí)，S△APC最大

∴yP＝t2+t﹣4＝2﹣2﹣4＝﹣4，yP'＝yP+

∴P（﹣2，﹣4），P'（﹣2，）

∵PP'＝MN，PP'∥MN

∴四邊形PMNP'是平行四邊形

∴PM＝P'N

∵等腰Rt△NEQ中，NE為斜邊

∴∠NEQ＝∠ENQ＝45°，NQ⊥EQ

∴NQ＝EN

∴PM+MN+EN＝PP'+P'N+ NQ＝+P'N+NQ

∵當(dāng)點(diǎn)P'、N、Q在同一直線上時(shí)，P'N+NQ＝P'R最小

∴PM+MN+EN＝+P'R

設(shè)直線EQ解析式為y＝﹣x+a

∵E（3， ）

∴﹣3+a＝

解得：a＝

∴直線EQ：y＝﹣x+

設(shè)直線P'R解析式為y＝x+b

∵P'（﹣2，）

∴﹣2+b＝﹣

解得：b＝

∴直線P'R：y＝x+

∵ 解得：

∴R（，4）

∴P'R＝

∴PM+MN+EN最小值為

（2）∵PD⊥AC，P（﹣2，﹣4），

∴直線PD解析式為：y＝x﹣2，

∴D（0，﹣2），F（﹣1，﹣3），

∴CD＝2，DF＝CF＝，△CDF是等腰直角三角形，

如圖2，把△DFC繞頂點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到，

∴（，﹣3），（﹣1，﹣3）

把 沿直線PD平移至，連接

設(shè)直線 的解析式為

將代入解析式中得

解得

∴直線 解析式為y＝x﹣2﹣ ，

同理：直線解析式為y＝x+﹣2，

顯然OC″≥+1＞2＝C″D″

∴以O，，K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形， 不可能為邊，只能以為鄰邊構(gòu)成菱形

∴ ,

∵OK∥ ，PD⊥,

∴OK⊥PD

∴K1（，﹣），

如圖3，把△DFC繞頂點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△D'FC'，

∴（﹣1，﹣3﹣）， （﹣1，﹣﹣3）

把沿直線PD平移至，連接 ,，

顯然， ∥PD， ≥+1＞， ≥+1＞ ，

∴以O，，K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，只能為對(duì)角線，

∴K2（2+，﹣2﹣）．

綜上所述，點(diǎn)K的坐標(biāo)為：K1（，﹣），K2（2+，﹣2﹣）．