Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為 7 的正方形 OABC 放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)，以 每秒 1 個(gè)單位的速度向 O 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 同時(shí)出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位的速度向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，到達(dá)端點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，連 PQ、BP、BQ．

（1）寫(xiě)出 B 點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）填寫(xiě)下表：

時(shí)間 t（單位：秒）	1	2	3	4	5	6
OP 的長(zhǎng)度
OQ 的長(zhǎng)度
PQ 的長(zhǎng)度
四邊形 OPBQ 的面積

①根據(jù)你所填數(shù)據(jù)，請(qǐng)描述線段 PQ 的長(zhǎng)度的變化規(guī)律？并猜測(cè) PQ 長(zhǎng)度的最小值．

②根據(jù)你所填數(shù)據(jù)，請(qǐng)問(wèn)四邊形 OPBQ 的面積是否會(huì)發(fā)生變化？并證明你的論斷；

（3）設(shè)點(diǎn) M、N 分別是 BP、BQ 的中點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn) M，N 的坐標(biāo)，是否存在經(jīng)過(guò) M， N 兩點(diǎn)的反比例函數(shù)？如果存在，求出 t 的值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（7，7）；（2）表格填寫(xiě)見(jiàn)解析；①,PQ長(zhǎng)度的最小值是；

②四邊形OPBQ的面積不會(huì)發(fā)生變化；（3）t=3.5存在經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的反比例函數(shù).

【解析】

通過(guò)寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)，填表，搞清楚本題的基本數(shù)量關(guān)系，每個(gè)量的變化規(guī)律，然后進(jìn)行猜想；用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，表示線段OP，OQ，CP，AQ的長(zhǎng)度，運(yùn)用割補(bǔ)法求四邊形OPBQ的面積，由中位線定理得點(diǎn)M（3.5，7-），N（，3.5），反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是 ，利用該等式求t值．

解：(1)∵在正方形 OABC中OA=OC=7

∴B（7，7）

(2)表格填寫(xiě)如下：

①線段PQ的長(zhǎng)度的變化規(guī)律是先減小再增大,PQ長(zhǎng)度的最小值是 .理由如下：

在Rt△POQ中，OP=7-t，OQ=t

∴PQ2=(7-t)2+t2=2t2-14t+49=

∵

∴

∴當(dāng) 時(shí)PQ2最取得最小值為

∴此時(shí)

②根據(jù)所填數(shù)據(jù)，四邊形OPBQ的面積不會(huì)發(fā)生變化；

∵=24.5，

∴四邊形OPBQ的面積不會(huì)發(fā)生變化.

(3)點(diǎn)M(3.5,7 ),N( ,3.5)，

當(dāng)3.5(7)=×3.5時(shí)，則t=3.5，

∴當(dāng)t=3.5存在經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的反比例函數(shù).