Question

已知如圖1，在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=

1

4

x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-1），連接AC，AO=2CO，直線l過點(diǎn)G（0，t）且平行于x軸，t＜-1，
（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；
（2）若D為拋物線y=

1

4

x²+bx+c上一動點(diǎn)，是否存在直線l使得點(diǎn)D到直線l的距離與OD的長恒相等？若存在，求出此時t的值；
（3）如圖2，若E、F為上述拋物線上的兩個動點(diǎn)，且EF=8，線段EF的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M縱坐標(biāo)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo)，可得c=-1，然后根據(jù)AO=2CO，可得出點(diǎn)A坐標(biāo)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出b值，即可得出函數(shù)解析式；
（2）假設(shè)存在直線l使得點(diǎn)D到直線l的距離與OD的長恒相等，設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，分別求出OD和點(diǎn)D到直線l的距離，然后列出等式求出t的值；
（3）作EN⊥直線l于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥直線l于點(diǎn)H，設(shè)出點(diǎn)E、F坐標(biāo)，表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，根據(jù)（2）中得出的結(jié)果，代入結(jié)果求出M縱坐標(biāo)的最小值．

解答：解：（1）∵c（0，-1），
∴y=

1

4

x²+bx-1，
又∵AO=2OC，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），
代入得：1-2b-1=0，
解得：b=0，
∴解析式為：y=

1

4

x²-1；

（2）假設(shè)存在直線l使得點(diǎn)D到直線l的距離與OD的長恒相等，
設(shè)D（a，

1

4

a²-1），
則OD=

a2+( 1 4 a2-1)2

=

( 1 4 a2+1)2

=

1

4

a²+1，
點(diǎn)D到直線l的距離：

1

4

a²-1+|t|，
∴

1

4

a²-1+|t|=

1

4

a²+1，
解得：|t|=2，
∵t＜-1，
∴t=-2，
故當(dāng)t=-2時，直線l使得點(diǎn)D到直線l的距離與OD的長恒相等；

（3）作EN⊥直線l于點(diǎn)N，F(xiàn)H⊥直線l于點(diǎn)H，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則EN=y₁+2，F(xiàn)H=y₂+2，
∵M(jìn)為EF中點(diǎn)，
∴M縱坐標(biāo)為：

y1+y2

2

=

(EN-2)+(FH-2)

2

=

EN+FH

2

-2，
由（2）得：EN=OE，F(xiàn)H=OF，
∴

y1+y2

2

=

EN+FH

2

-2=

OE+OF

2

-2，
要使M縱坐標(biāo)最小，即

OE+OF

2

-2最小，
當(dāng)EF過點(diǎn)O時，OE+OF最小，最小值為8，
∴M縱坐標(biāo)最小值為

OE+OF

2

-2=

8

2

-2=2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，涉及到拋物線解析式的求法，點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距離等知識，涉及到的知識點(diǎn)比較多，難度比較大，是中考中的壓軸題．特別是存在性問題更是近幾年中考的高頻考點(diǎn)．