Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線y=x-2與x軸交于B點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．
（1）求k的值；
（2）設(shè)直線y=x-2與y軸交于點(diǎn)C，與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，作DE⊥y軸于點(diǎn)E，連結(jié)BE，OD，求證：四邊形ODEB為平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）先由一次函數(shù)y=x-2的圖象過點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，將x=4代入y=x-2，求出y的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)直線的解析式確定B的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程，確定D的坐標(biāo)，即可確定OB=DE且DE∥OB，即證得的結(jié)論．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=x-2的圖象過點(diǎn)A，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，
∴將x=4代入y=x-2得，y=4-2=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）．
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{8}{x}$；
（2）由y=x-2可知B（2，0），
∴OB=2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴D（-2，-4）
∴DE=2，
∴OB=DE，
∵DE⊥y軸于點(diǎn)E，
∴DE∥OB，
∴四邊形ODEB為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，垂直于y軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的判定，難度適中．求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．