Question

3．如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，D為AB邊上一動點，將△CBD沿CD翻折，記點B的對應點為E．
（1）如圖2，當點D與點A重合時，設DE與OC交于點F，試判斷△CAF的形狀，并說明理由；
（2）若OA=6，OC=8，是否存在點D，使△ADE為直角三角形？如果存在，請求出點D的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）若OA=5，OC=7，當點E落在∠AOC的角平分線上時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖2，△CAF是等腰三角形，因為翻折得：∠BAC=∠CAE，再由平行內(nèi)錯角相等得：∠OCA=∠BAC，則∠OCA=∠CAE，從而得結論；
（2）存在，因為∠DAE=90°時不符合題意，所以分兩種情況討論：①當∠ADE=90°時，如圖3，直接寫出點E的坐標；②當∠AED=90°時，如圖4，根據(jù)勾股定理計算EM和AM的長即可；
（3）作輔助線構建直角三角形，設EM=x，在Rt△CME中利用勾股定理列方程求出x的值，再證明△CME∽△END，列比例式可得點D的坐標．

解答 解：（1）如圖2，△CAF是等腰三角形，理由是：
由翻折得：∠BAC=∠CAE，
∵四邊形OABC為矩形，
∴OC∥AB，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠OCA=∠CAE，
∴△CAF是等腰三角形；
（2）存在，分兩種情況：
①當∠ADE=90°時，△ADE為直角三角形，如圖3，
∴BC=CE=6，
∴四邊形CEDB是正方形，
∴E（0，2）；
②當∠AED=90°時，△ADE為直角三角形，如圖4，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
由翻折得：CE=BC=6，
∴AE=10-6=4，
過E作EM⊥AB于M，
sin∠CAB=$\frac{BC}{AC}=\frac{EM}{AE}$，
∴$\frac{6}{10}=\frac{EM}{4}$，
∴EM=2.4，
由勾股定理得：AM=$\sqrt{{4}^{2}-2．{4}^{2}}$=3.2，
∴E（6-2.4，3.2），
即E（3.6，3.2）；
（3）如圖5，過E作MN⊥OC，垂足為M，交AB于N，則MN⊥AB，
∵OE平分∠COA，∠COA=90°，
∴∠COE=45°，
∴△EMO是等腰直角三角形，
設EM=x，則OM=x，CM=7-x，
由翻折得：BC=CE=5，
由勾股定理得：5²=（7-x）²+x²，
解得：x₁=3，x₂=4，
當x=3時，EM=3，EN=2，
∵∠CED=90°，
∴∠CEM+∠DEN=90°，
∵∠CEM+∠MCE=90°，
∴∠DEN=∠MCE，
∵∠CME=∠END，
∴△CME∽△END，
∴$\frac{CM}{EN}=\frac{ME}{DN}$，
∴$\frac{4}{2}=\frac{3}{DN}$，
∴DN=1.5，
∴D（5，4.5），
當x=4時，同理得：DN=$\frac{4}{3}$，
∴D（5，$\frac{13}{3}$），
∴當點E落在∠AOC的角平分線上時，點D的坐標為（5，4.5）或（5，$\frac{13}{3}$）．

點評 本題是四邊形的綜合題，也是直角三角形的翻折變換問題，考查了矩形、直角三角形的性質；利用勾股定理或三角形相似對應邊的比列方程可以求邊的長；對于翻折后所形成的直角三角形要分情況進行討論，利用數(shù)形結合的思想解決問題．