Question

（2012•北塘區(qū)一模）已知拋物線的頂點坐標為(

5

2

，-

27

16

)，且經過點C（1，0），若此拋物線與x軸的另一交點為點B，與y軸的交點為點A，設P、Q分別為AB、OB邊上的動點，它們同時分別從點A、O向B點勻速運動，速度均為每秒1個單位，設P、Q移動時間為t（0≤t≤4）
（1）求此拋物線的解析式并求出P點的坐標（用t表示）；
（2）當△OPQ面積最大時求△OBP的面積；
（3）當t為何值時，△OPQ為直角三角形？
（4）△OPQ是否可能為等邊三角形？若可能請求出t的值；若不可能請說明理由，并改變點Q的運動速度，使△OPQ為等邊三角形，求出此時Q點運動的速度和此時t的值．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的解析式設為頂點式，再將C點坐標代入該解析式中，即可求得待定系數的值．求解P點坐標時，可過P作y軸的垂線，通過構建的相似三角形求出P點的橫、縱坐標．
（2）在（1）中求得P點坐標，以OQ為底、P點縱坐標為高求出關于△OPQ的面積和t的函數關系式，根據所得函數的性質求出△OPQ的面積最大值時，對應的t值；由此能得到AP的長，△OPB和△AOB中，若以BP、AB為底，那么它們的高相同，底的比就是面積的比，由此得解．
（3）此題分兩種情況：∠OQP=90°或∠OPQ=90°；第一種情況，PQ∥y軸，利用相應的比例線段即可求出t的值；后一種情況可利用勾股定理來進行求解．
（4）若△OPQ為等邊三角形，Q點運動速度必須滿足OQ等于P點橫坐標的2倍（P點在線段OQ的中垂線上），然后根據等邊三角形的性質求出對應的t值．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-

5

2

）²-

27

16

，代入點（1，0），得：a=

3

4

；
∴y=

3

4

（x-

5

2

）²-

27

16

．
令y=0得：x₁=4，x₂=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右圖，過點P作PM⊥y軸，垂足為點M，則：

AM

AO

=

PM

OB

=

AP

AB

，得：

AM

3

=

PM

4

=

t

5

∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t
∴P（

4

5

t，3-

3

5

t）．

（2）如圖，過點P作PN⊥x軸，垂足為點N，
S_△OPQ=

1

2

OQ•PN=

1

2

t•（3-

3

5

t）=

3

2

t-

3

10

t²=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

∴當t=

5

2

時，S_△OPQ最大=

15

8

．
此時OP為AB邊上的中線
∴S_△OBP=

1

2

S_△AOB=

1

2

×

1

2

×3×4=3．

（3）若∠OQP=90°，則

BP

AB

=

BQ

BO

，
∴

5-t

5

=

4-t

4

，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，則OP²+PQ²=OQ²，
∴（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²+（3-

3

5

t）²+（

1

5

t）²=t²
解得：t₁=3，t₂=15（舍去）．
當t=3時，△OPQ為直角三角形．

（4）∵OP²=（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²，PQ²=（3-

3

5

t）²+（

1

5

t）²；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等邊三角形．
設Q點的速度為每秒k個單位時，△OPQ為等邊三角形
∴kt=2•

4

5

t，得 k=

8

5

∵PN=

3

2

OP=

3

2

•

8

5

t=

4 3

5

t
∴3-

3

5

t=

4 3

5

t，得t=

20 3 -15

13

．

點評：該題的難度較大，綜合了二次函數、直角三角形與等邊三角形的判定、圖形面積的求法等知識．在解答（3）題時，要注意直角三角形的直角并沒有確定，要分類進行討論．