Question

有一座圓弧形拱橋，在水深為L時，拱橋離水面2米，水面寬4米，有一艘頂部寬3米，高出水面1.5米的小船，問：這艘小船能順利通過這座橋嗎？若不能通過，水面至少下降多少米后才能通過？

Answer 1

考點：垂徑定理的應(yīng)用,勾股定理

專題：計算題

分析：先根據(jù)實物圖畫出幾何圖，如圖，弦AB=4，拱形高CD=2，DE=1.5，作FH⊥CD于D，連接OF，OA，由于CD為拱形高，根據(jù)垂徑定理得到CD垂直平分AB，得到圓心O在CD上，AD=BD=2，在Rt△OAD中，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r-2，AD=2，根據(jù)勾股定理得r²=2²+（r-2）²，解得r=2，則AB為⊙O的直徑，DC為半徑，在Rt△OFH中，利用勾股定理計算出OH=

7

2

≈1.32，由于1.5-1.32=0.18，于是可判斷這艘小船不能通過，水面至少下降0.18米后才能通過．

解答：解：如圖，弦AB=4，拱形高CD=2，DE=1.5，
作FH⊥CD于D，連接OF，OA，
∵CD為拱形高，
∴CD垂直平分AB，
∴圓心O在CD上，AD=BD=2，
在Rt△OAD中，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r-2，AD=2，
∵OA²=AD²+OD²，
∴r²=2²+（r-2）²，解得r=2，
∴AB為⊙O的直徑，DC為半徑，
在Rt△OFH中，OH=

OF2-FH2

=

22-1．52

=

7

2

≈1.32，
∵1.5-1.32=0.18，
∴不能通過，水面至少下降0.18米后才能通過．

點評：本題考查了垂徑定理的應(yīng)用：從實際問題中抽象出幾何圖形，然后垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．