Question

1．某商場銷售一種成本為每件30元的商品，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似看作一次函數(shù)y=-10x+600，商場銷售該商品每月獲得利潤為w（元）．
（1）求w與x之間的函數(shù)關系式；
（2）如果商場銷售該商品每月想要獲得2000元的利潤，那么每月成本至少多少元？
（3）為了保護環(huán)境，政府部門要求用更加環(huán)保的新產(chǎn)品替代該商品，商場銷售新產(chǎn)品，每月的銷量與銷售價格之間的關系與原產(chǎn)品的銷售情況相同，新產(chǎn)品的成本每件32元，若新產(chǎn)品每月的銷售量不低于200件時，政府部門給予每件4元的補貼，試求定價多少時，每月銷售新產(chǎn)品的利潤最大？求出最大的利潤．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)：月利潤=（銷售單價-成本價）×銷售量，從而列出關系式；
（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價，再根據(jù)：月成本=成本價×銷售量可得答案；
（3）根據(jù)銷售量低于200件和不低于200件求出x的范圍，并根據(jù)：利潤=每件產(chǎn)品的利潤×銷售量，從而列出關系式；運二次函數(shù)性質求出其最值，比較大小可得．

解答 解：（1）w=（x-30）（-10x+600）=-10x²+900x-18000．

（2）由題意得，-10x²+900x-18000=2000，
解得：x₁=40，x₂=50，
當x=40時，成本為30×（-10×40+600）=6000（元），
當x=50時，成本為30×（-10×50+600）=3000（元），
∴每月想要獲得2000元的利潤，每月成本至少3000元．

（3）當y＜200時，即：-10x+600＜200，解得：x＞40，
w=（x-32）（-10x+600）=-10（x-46）²+1960，
∵a=-10＜0，x＞40，
∴當x=46時，w_最大值=1960（元）；
當y≥200時，即：-10x+600≥200，解得：x≤40，
w=（x-32+4）（-10x+600）=-10（x-44）²+2560，
∵a=-10＜0，
∴拋物線開口向下，當32＜x≤40時，w隨x的增大而增大，
∴當x=40時，w_最大值=2400（元），
∵1960＜2400，
∴當x=40時，w最大，
答：定價每件40元時，每月銷售新產(chǎn)品的利潤最大，最大利潤為2400元．

點評 本題考查了把實際問題轉化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質進行實際應用．根據(jù)題意分情況建立二次函數(shù)的模型是解題的關鍵．