Question

如圖，在平面直角坐標系中，?ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），將?ABCD繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到?A′B′CD′，A′D′與BC相交于點E．
（1）求經(jīng)過點D、A、A′的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求?ABCD與?A′B′CD′的重疊部分（即△CED’）的面積；
（3）點P是拋物線上點A、A′之間的一動點，是否存在點P使得△APA′的面積最大？若存在，求出△APA′的最大面積，及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易求點D的坐標和A′坐標，再把D（-1，1）、A（0，4）、A′（3，1）代入求出a、b、
c的值即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)：∠CED’=90°，所以可證明△CED′∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方即可求出?ABCD與?A′B′CD′的重疊部分（即△CED’）的面積；
（3）易得：y_AA'=-x+4，設(shè)P（t，-t²+2t+4），則Q（t，-t+4），所以PQ=（-t²+2t+4）-（-t+4）=-t²+3t，利用三角形的面積公式即可得到s和t的二次函數(shù)關(guān)系式利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出△APA′的最大面積，進而可求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，將?ABCD繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到?A′B′CD′，
頂點A、B、C的坐標分別為A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），
∴D（-1，1）、A′（3，1），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將D（-1，1）、A（0，4）、A′（3，1）代入得：

a-b+c=1 c=4 9a+3b+c=1

，
解得：

a=-1 b=2 c=4

，
∴y=-x²+2x+4或：y=-（x-1）²+5；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)：∠CED’=90°，
∴△CED′∽△CAB，
∴

S△CED′

S△CAB

=(

CD′

CB

)2，
即

S△CED′

3 2

=(

1

10

)2，
∴S△CED′=

3

20

；
或易得：y_BC=3x+1與yA′D′=-

1

3

x+2，
由

y=3x+1 y=- 1 3 +2

得：E（

3

10

，

19

10

），
∴S△CED′=

1× 3 10

2

=

3

20

；
（3）易得：y_AA'=-x+4
設(shè)P（t，-t²+2t+4），則Q（t，-t+4），
∴PQ=（-t²+2t+4）-（-t+4）=-t²+3t，
∴S△APA′=

(-t2+3t)•3

2

=-

3

2

(t-

3

2

)2+

27

8

，
∴△APA’的最大面積為

27

8

，
此時，P（

3

2

，

19

4

）．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點等知識點，綜合性強，同時也考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．