Question

如圖，直線y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線y=-x²+bx+c與直線BC交于點D（3，-4）．
（1）求直線BD和拋物線的解析式；
（2）在第一象限內的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M、O、N為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線BD上方的拋物線上有一動點P，過點P作PH垂直于x軸，交直線BD于點H，當四邊形BOHP是平行四邊形時，試求動點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,一次函數的應用,平行四邊形的性質,相似三角形的性質

專題：代數幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由直線y=2x+2可以求出A，B的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式和直線BD的解析式；
（2）如圖1，2，由（1）的解析式設M（a，-a²+a+2），當△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時，由相似三角形的性質就可以求出結論；
（3）設P（b，-b²+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四邊形的性質建立方程求出b的值就可以求出結論．

解答：解：（1）∵y=2x+2，
∴當x=0時，y=2，
∴B（0，2）．
當y=0時，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵拋物線y=-x²+bx+c過點B（0，2），D（3，-4），
∴

2=c -4=-9+3b+c

解得：

b=1 c=2

，
∴y=-x²+x+2；
設直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得

b=2 -4=3k+b

，
解得：

k=-2 b=2

，
∴直線BD的解析式為：y=-2x+2；

（2）存在．
如圖1，設M（a，-a²+a+2）．
∵MN垂直于x軸，
∴MN=-a²+a+2，ON=a．
∵y=-2x+2，
∴y=0時，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
當△BOC∽△MNO時，
∴

BO

MN

=

OC

ON

，
∴

2

-a2+a+2

=

1

a

，
解得：a₁=1，a₂=-2（舍去）
∴M（1，2）；
如圖2，當△BOC∽△ONM時，

BO

ON

=

OC

MN

，
∴

2

a

=

1

-a2+a+2

，
∴a=

1+ 33

4

或

1- 33

4

（舍去），
∴M（

1+ 33

4

，

1+ 33

8

）．
∴符合條件的點M的坐標為（1，2），（

1+ 33

4

，

1+ 33

8

）；

（3）設P（b，-b²+b+2），H（b，-2b+2）．
如圖3，∵四邊形BOHP是平行四邊形，
∴BO=PH=2．
∵PH=-b²+b+2+2b-2=-b²+3b．
∴2=-b²+3b
∴b₁=1，b₂=2．
當b=1時，P（1，2），
當b=2時，P（2，0）
∴P點的坐標為（1，2）或（2，0）．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，一次函數的解析式的運用，相似三角形的性質的運用，平行四邊形的性質的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時求出函數的解析式是關鍵．