Question

3．已知點(diǎn)D與點(diǎn)A（10，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則CD長(zhǎng)的最小值為8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 ①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD；②CD是平行四邊形的一條對(duì)角線，過(guò)C作CM⊥AO于M，過(guò)D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過(guò)B作BN⊥DF于N，證△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=10-a，得出D（（10-a，6+a），由勾股定理得：CD²=（10-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-16a+100=8（a-1）²+128，求出即可．

解答 解：有兩種情況：
①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD=$\sqrt{1{0}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
②CD是平行四邊形的一條對(duì)角線，
過(guò)C作CM⊥AO于M，過(guò)D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過(guò)B作BN⊥DF于N，
則∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四邊形ACBD是平行四邊形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BND=∠AMC}\\{∠DBN=∠CAM}\\{BD=AC}\end{array}\right.$
∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=10-a，
D（（10-a，6+a），
由勾股定理得：CD²=（10-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-16a+136=8（a-1）²+128，
當(dāng)a=1時(shí)，CD有最小值，是$\sqrt{128}$=8$\sqrt{2}$，
∵8$\sqrt{2}$＜2$\sqrt{34}$，
∴CD的最小值是8$\sqrt{2}$．
故答案為：8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，關(guān)鍵是能得出關(guān)于a的二次函數(shù)解析式，題目比較好，難度偏大．