Question

【題目】已知，中，，是邊上一點(diǎn)，作，分別交邊，于點(diǎn)，.

（1）若（如圖1），求證：.

（2）若，過(guò)點(diǎn)作，交（或的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn).試猜想：線(xiàn)段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并就情形（如圖2）說(shuō)明理由.

（3）若點(diǎn)與重合（如圖3），，且.

①求的度數(shù)；

②設(shè)，，，試證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）猜想：，理由見(jiàn)解析；（3）①；②證明見(jiàn)解析.

【解析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定，得到，，證明.即可證明.

（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，證明≌得到.

證明四邊形是平行四邊形，即可得到.

（3）①設(shè)，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列出方程，求解即可.

②延長(zhǎng)至，使，連結(jié),證明 .根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

，即可證明.

【解答】（1）∵，，，

∴，，

∴，，，

∴.

∴.

（2）猜想：，理由如下：

過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

則，

∵，

∴，

又，

∴≌∴.

∵，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴.

（3）①設(shè)，

∵，，

∴，

又，即，

∴，即.

②延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，

∵，.

∴ ，

∵，∴，

∴，

而，

∴.

∴，

∴.

∵，，，

∴，

∴.