Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過的三個(gè)頂點(diǎn)，與軸相交于，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，軸， 垂足分別為點(diǎn)，，當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）將（2） 中的正方形沿向右平移，記平移中的正方形為正方形，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， 設(shè)平移的距離為，正方形的邊與交于點(diǎn)，所在的直線與交于點(diǎn)， 連接，是否存在這樣的，使是等腰三角形?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，1)；（3）存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形，t的值為，3－或1

【解析】

（1）可得拋物線的對(duì)稱軸為y軸，設(shè)頂點(diǎn)式y＝ax2＋，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得拋物線解析式；

（2）先求出線段的解析式，①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，設(shè)正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p），代入直線AC的解析式，就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，同理可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去；

（3）過點(diǎn)M作MH⊥DN于H，如圖2，由題可得0≤t≤2．然后只需用t的代數(shù)式表示DN、DM2、MN2，分三種情況（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）討論就可解決問題．

（1）∵點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸，

∴拋物線的頂點(diǎn)為(0,)故拋物線的解析式可設(shè)為y＝ax2＋．

∵A(－1，2)在拋物線y＝ax2＋上，

∴a＋＝2，解得a＝－，

∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝－x2＋．

（2） ①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，如圖1，令y＝0得，－x2＋＝0，

解得x1＝3，x2＝－3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)，

設(shè)直線AC的解析式為y＝mx＋n，則有 解得，

∴直線AC的解析式為y＝－x＋．

設(shè)正方形OEFG的邊長為p，則F(p，p)，

∵點(diǎn)F(p，p)在直線y＝－x＋上，

∴－p＋＝p，解得p＝1

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，1)．

②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，則F(-p，p)，

∵點(diǎn)F(-p，p)在直線y＝－x＋上，

∴p＋＝p，解得p＝3,

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－3，3)，此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去．

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，1)．

（3）過點(diǎn)M作MH⊥DN于點(diǎn)H，如圖2，則OD＝t，OE＝t＋1．

∵點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

∴0≤t≤2，

當(dāng)x＝t時(shí)，y＝－t＋，則N(t，－t＋)，DN＝－t＋，

當(dāng)x＝t＋1時(shí)，y＝－ (t＋1)＋＝－t＋1，則M(t＋1，－t＋1)，ME＝－t＋1，

在Rt△DEM中，DM2＝12＋(－t＋1)2＝t2－t＋2，

在Rt△NHM中，MH＝1，NH＝(－t＋)－(－t＋1)＝，

∴MN2＝12＋()2＝，

①當(dāng)DN＝DM時(shí)，(－t＋)2＝t2－t＋2，解得t＝；

②當(dāng)ND＝NM時(shí)，－t＋＝＝，解得t＝3－；

③當(dāng)MN＝MD時(shí)，＝t2－t＋2，解得t1＝1，t2＝3，

∵0≤t≤2，

∴t＝1．

綜上所述，存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形，t的值為，3－或1．