Question

已知一條拋物線與x軸相交于A（-3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），其對(duì)稱軸為x=-1．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）已知對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M，使△BCM的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如果將拋物線向右平移1個(gè)長(zhǎng)度單位得到另一條拋物線，寫出這條拋物線的解析式，并求出兩條拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）設(shè)P（x，y）是第二條拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PAB的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)頂點(diǎn)式解析式為y=a（x+1）²+k，然后把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入求出a、k即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC的解析式，再求解即可；
（3）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可，再聯(lián)立兩拋物線解析式求解即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）令y=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再分點(diǎn)P在x軸下方和上方兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）²+k，
將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入得，

(-3+1)2a+k=0 (0+1)2a+k=-2

，
解得

a= 2 3 k=- 8 3

．
所以y=

2

3

（x+1）²-

8

3

；

（2）由軸對(duì)稱確定最短路線問題，直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
則

-3k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 2 3 b=-2

，
所以，直線AC的解析式為y=-

2

3

x-2，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-

2

3

×（-1）-2=-

4

3

，
∴△BCM的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-

4

3

）；

（3）原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-

8

3

），
∵拋物線向右平移1個(gè)長(zhǎng)度單位，
∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

8

3

），
∴這條拋物線的解析式為y=

2

3

x²-

8

3

，
聯(lián)立

y= 2 3 (x+1)2- 8 3 y= 2 3 x2- 8 3

，
解得

x=- 1 2 y=- 5 2

．
所以，兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，-

5

2

）；

（4）令y=0，則

2

3

（x+1）²-

8

3

=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
當(dāng)x＜-2或x＞-2時(shí)，點(diǎn)P在x軸上方，△PAB的面積為S=

1

2

×4×（

2

3

x²-

8

3

）=

4

3

x²-

16

3

，
當(dāng)-2＜x＜2時(shí)，點(diǎn)P在x軸下方，△PAB的面積為S=

1

2

×4×[-（

2

3

x²-

8

3

）]=-

4

3

x²+

16

3

，
當(dāng)x=-2或x=2時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P、A、B不能構(gòu)成三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱確定最短路線問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，綜合題，但難度不大，關(guān)鍵在于（2）判斷出點(diǎn)M的位置，（4）根據(jù)點(diǎn)P的位置分情況討論．