Question

18．關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x²+2x-3=0．
（1）若原方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）若原方程的一個根是1，求此時m的值及方程的另外一個根．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得到m-1≠0且△=2²-4（m-1）×（-3）=12m-8＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
（2）先把x=1代入原方程得到m的一元一次方程，求出m的值，從而確定原一元二次方程，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得到方程的另一個解．

解答 解：（1）由題意知，m-1≠0，所以m≠1．
∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=2²-4（m-1）×（-3）=12m-8＞0，
解得：m＞$\frac{2}{3}$，
綜上所述，m的取值范圍是m＞$\frac{2}{3}$且m≠1；

（2）把x=1代入原方程，得：m-1+2-3=0．
解得：m=2．
把m=2代入原方程，得：x²+2x-3=0，
解得：x₁=1，x₂=-3．
∴此時m的值為2，方程的另外一個根為是-3．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義及解法．