Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE=CB

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）30°

【解析】分析：（1）連結(jié)OB，如圖，由CE=CB得到∠CBE=∠CEB，由CD⊥OA得到∠DAE+∠AED=90°，利用對頂角相等得∠CEB=∠AED，則∠DAE+∠CBE=90°，加上∠OAB=∠OBA，所以∠OBA+∠CBE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到BC是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OF，OF交AB于H，如圖，由DF⊥OA，AD=OD，根據(jù)等腰三角形的判定得FA=FO，而OF=OA，所以△OAF為等邊三角形，則∠AOF=60°，于是根據(jù)圓周角定理得∠ABF=∠AOF=30°．

詳解：（1）證明：連結(jié)OB，如圖，

∵CE=CB，

∴∠CBE=∠CEB，

∵CD⊥OA，

∴∠DAE+∠AED=90°，

而∠CEB=∠AED，

∴∠DAE+∠CBE=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA+∠CBE=90°，即∠OBC=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)OF，OF交AB于H，如圖，

∵DF⊥OA，AD=OD，

∴FA=FO，

而OF=OA，

∴△OAF為等邊三角形，

∴∠AOF=60°，

∴∠ABF=∠AOF=30°．