Question

（2012•鞍山二模）如圖，AB是⊙O的直徑，M是⊙O上一點，MN⊥AB，垂足為N．P、Q分別是

AM

、

BM

上一點（不與端點重合），如果∠MNP=∠MNQ，求證：MN²=PN•QN．

Answer 1

分析：延長QN交圓O于C，延長MN交圓O于D，如圖所示，由MN垂直于AB，得到一對直角相等，再由已知的一對角相等，得到∠1=∠2，由MN垂直于AB，利用垂徑定理得到A為弧DM的中點，再由一對對頂角相等，得到∠1=∠ANC，可得出P與C關(guān)于AB對稱，進而得到弧PA=弧AC，利用等式的性質(zhì)得到弧PD=弧MC，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由已知的一對角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形PMN與三角形MNQ相似，由相似得比例，即可得證．

解答：解：延長QN交圓O于C，延長MN交圓O于D，如圖所示，
∵MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
∴∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直徑，MN⊥AB，
∴

AM

=

DA

，
∵∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
∴P，C關(guān)于AB對稱，
∴

PA

=

AC

，

PD

=

MC

，
∴∠Q=∠PMN，
又∵∠MNP=∠MNQ，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN．

點評：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．