Question

（2012•鞍山二模）如圖，已知直線y=-

3

3

x+6與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線l₁從與直線l重合的位置開始以每秒1個(gè)單位速度向下作勻速平行移動(dòng)．與此同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿直線l₁向左上方勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）用含t的代數(shù)式表示P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，以點(diǎn)P為圓心，1為半徑作圓．
①若⊙P與直線OC相切，求此時(shí)t的值；
②已知⊙P與直線OC相交，交點(diǎn)為E、F，當(dāng)△PEF是等邊三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）易證∠BAO=30°，因而當(dāng)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿直線l₁向左上方勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，P以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向上運(yùn)動(dòng)，以

3

單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．
而直線l₁從以每秒1個(gè)單位速度向下作勻速平行移動(dòng)，故P以

3

單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，則P的坐標(biāo)可以求得；
（2）①若⊙P與直線OC相切，則PM=1，在直角△OMP中利用三角函數(shù)即可得到關(guān)于t的方程，解方程求得t的值；
②△PEF是等邊三角形時(shí)，在OP一定是等邊三角形的一邊，則OP=1，據(jù)此即可求得t的值．

解答：解：（1）在y=-

3

3

x+6中，令x=0，則y=6，即B的坐標(biāo)是（0，6），
令y=0，則-

3

3

x+6=0，解得：x=6

3

，
則OA=6

3

，OB=6，
則∠BAO=30°，
因而當(dāng)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿直線l₁向左上方勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，P以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向上運(yùn)動(dòng)，以

3

單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．
而直線l₁從以每秒1個(gè)單位速度向下作勻速平行移動(dòng)，故P以

3

單位長(zhǎng)度/秒的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)．
則P的坐標(biāo)是（6

3

-

3

t，0）；

（2）①若⊙P與直線OC相切，當(dāng)P在OC的右邊時(shí)，直角△OPM中，MP=1，OP=6

3

-3t，∠MPO=∠BAO=30°，
則cos∠MPO=

MP

OP

=

1

6 3 - 3 t

=

3

2

，解得：t=

16

3

；
當(dāng)當(dāng)P在OC的左邊時(shí)，直角△OPM中，MP=1，OP=

3

t-6

3

，∠MPO=∠BAO=30°
則cos∠MPO=

MP

OP

=

1

3 t-6 3

=

3

2

，解得：t=

20

3

；

②△PEF是等邊三角形時(shí)，OP=1，則當(dāng)P在OC的右邊時(shí)，6

3

-

3

t=1，解得：t=6-

3

3

（秒）；
當(dāng)P在OC的左邊時(shí)：

3

t-6

3

=1，解得：t=6+

3

3

（秒）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與三角函數(shù)的綜合題，正確理解P運(yùn)動(dòng)的路徑是關(guān)鍵．