【題目】已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)C在第一象限,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A坐標(biāo)為(m,0),點(diǎn)C橫坐標(biāo)為n,且m2+n2﹣2m﹣8n+17=0.
(1)分別求出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖(2),點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn),以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的直角∠EDF兩邊分別交邊BC于E,交邊AC于F,①求證:DE=DF;②求證:S四邊形DECF=S△ABC;
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)G(點(diǎn)G不與點(diǎn)A重合),使得△BCG是以BC為直角邊的等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo).
【答案】(1)點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)B(0,7),點(diǎn)C(4,4);(2)①見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析;(3)點(diǎn)G(-3,3)或(3,11)或(7,8)
【解析】
(1)由非負(fù)性可求m,n的值,由“AAS”可證△BCM≌△ACN,可得CM=CN=4=OM,AN=BM=3,即可求解;
(2)①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD=CD=AD,∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°,AB⊥CD,由“AAS”可證△BDE≌△CDF,可得DE=DF;
②由全等三角形的性質(zhì)可得S△BDE=S△CDF,即可得結(jié)論;
(3)分三種情況討論,由等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求解.
(1)如圖(1),過(guò)點(diǎn)C作CM⊥OB,CN⊥OA,
∵m2+n2﹣2m﹣8n+17=0.
∴(m﹣1)2+(n﹣4)2=0,
∴m=1,n=4,
∴點(diǎn)A(1,0),CM=4,
∵CM⊥OB,CN⊥OA,∠AOB=90°,
∴四邊形OMCN是矩形,
∴∠MCN=90°=∠ACB,CM=ON=4,CN=OM,
∴AN=3,∠MCN-∠MVA=∠ACB-∠MVA
∴∠BCM=∠ACN,
∵ AC=BC,∠BMC=∠ANC,
∴△BCM≌△ACN(AAS)
∴CM=CN=4=OM,AN=BM=3,
∴點(diǎn)B(0,7),點(diǎn)C(4,4);
(2)①如圖(2),連接CD,
∵AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn),
∴BD=CD=AD,∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°,AB⊥CD
∵∠EDF=90°=∠BDC,
∴∠EDF-∠EDC=∠BDC-∠EDC
∴∠BDE=∠CDF,
∵BD=CD,∠ABC=∠DCA,
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DE=DF,
②∵△BDE≌△CDF,
∴S△BDE=S△CDF,
∴S△BDE+S△EDC=S△CDF+S△EDC,
∴S△BDC=S四邊形EDFC,
∵AD=BD,
∴
∴S四邊形DECF= S△ABC;
(3)如圖(3),
若∠GBC=90°,BG=BC時(shí),且點(diǎn)G在BC下方,過(guò)點(diǎn)G作GF⊥OB,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB,
∵∠GBF+∠EBC=90°,∠GBF+∠BGF=90°,
∴∠EBC=∠BGF,
∵∠BEC=∠BFG=90°,BG=BC,
∴△BGF≌△CBE(AAS)
∴BF=CE=4,GF=BE,
∴OF=OB-BF=7-4=3,
∴點(diǎn)G(﹣3,3),
若 時(shí),且點(diǎn)在BC上方,過(guò)點(diǎn) 作M⊥OB,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB,
∵
∴ ,
∵
∴
∴BM=CE=4, ,
∴OM=OB+BM=7+4=11,
∴ ,
若 , 時(shí),點(diǎn)在BC上方,過(guò)點(diǎn) 作N⊥EC,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB,
∵
∴ ,
∵
∴
∴CN=BE=3, ,
∴EN=4+3=7,
∴點(diǎn)
綜上所述:點(diǎn)G(﹣3,3)或G(3,11)或G(7,8)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在探究三角形的內(nèi)角和的小組活動(dòng)中,小穎作如下輔助線:延長(zhǎng)△ABC的邊BC到D,作CE∥AB,于是小穎得出三角形內(nèi)角和的證明方法.
(1)求證:∠A+∠B+∠ACB=180°;
(2)如果CE平分∠ACD,AC=5,求BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點(diǎn),使線段PC的長(zhǎng)有最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)假若△PAC為直角三角形,直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E,垂足是D,F是BC上一點(diǎn),EF平分∠AFC,EG⊥AF于點(diǎn)G.
(1)試判斷EC與EG,CF與GF是否相等;(直接寫出結(jié)果,不要求證明)
(2)求證:AG=BC;
(3)若AB=5,AF+BF=6,求EG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°.
(1)作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點(diǎn)E的⊙O(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
(2)設(shè)(1)中所作的⊙O與邊AB交于異于點(diǎn)B的另外一點(diǎn)D,若⊙O的直徑為5,BC=4;求DE的長(zhǎng).(如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形,可畫出草圖完成(2)問(wèn))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】袋中有個(gè)紅球,個(gè)白球,個(gè)黑球,它們除顏色外都相同,小明從中隨機(jī)摸出一球.下列說(shuō)法正確的是( )
A. 一定是紅球 B. 是紅球或白球或黑球的可能性相同
C. 摸到白球的可能性比摸到黑球的可能性大 D. 有可能是紅球或白球或黑球
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】、兩組卡片共張,中三張分別寫有數(shù)字,,,中兩張分別寫有,.它們除了數(shù)字外沒(méi)有任何區(qū)別.
隨機(jī)地從中抽取一張,求抽到數(shù)字為的概率;
隨機(jī)地分別從、中各抽取一張,請(qǐng)你用畫樹(shù)狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果,現(xiàn)制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則:若選出的兩數(shù)之積為的倍數(shù),則甲獲勝;否則乙獲勝.請(qǐng)問(wèn)這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平嗎?為什么?
如果不公平請(qǐng)你修改游戲規(guī)則使游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知:AB為⊙O的弦(非直徑),E為AB的中點(diǎn),EO的延長(zhǎng)線與⊙O相交于C,CM∥AB,BO的延長(zhǎng)線與⊙O相交于F,與CM相交于D.
①求證:EC⊥CD;
②當(dāng)EO:OC=1:3,CD=4時(shí),求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,1),(﹣1,3),(﹣3,2).
(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A′B′C′,并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)C′的坐標(biāo)為 ;
(2)求△ABC的面積;
(3)若點(diǎn)P(a,a﹣2)與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱,若PQ=8,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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