Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于點E，垂足是D，F是BC上一點，EF平分∠AFC，EG⊥AF于點G．

（1）試判斷EC與EG，CF與GF是否相等；（直接寫出結果，不要求證明）

（2）求證：AG＝BC；

（3）若AB＝5，AF+BF＝6，求EG的長．

Answer 1

【答案】（1）CE＝EG，CF=GF；（2）AG＝BC，見解析；（3）

【解析】

（1）根據角平分線性質得出EC＝EG，根據勾股定理推出CF＝GF即可．

（2）連接BE，推出AE＝BE，根據HL證出Rt△AGE≌Rt△BCE即可．

（3）求出BC，根據勾股定理求出AC，設EG＝EC＝x，則AE＝4﹣x，在Rt△AGE中，由勾股定理得出方程32+x2＝（4﹣x）2，求出方程的解即可．

（1）解：EC＝EG，CF＝GF，

理由是：∵∠C＝90°，EG⊥AF，EF平分∠AFC，且EF=EF

∴△ECF≌△EGF

∴CE＝EG，CF=GF．

（2）證明：連接BE，

∵AB的垂直平分線DE，

∴AE＝BE，

在Rt△AGE和Rt△BCE中，

，

∴Rt△AGE≌Rt△BCE（HL），

∴AG＝BC．

（3）解：∵AG＝BC＝BF+GF，

∴2AG＝AG+ BF+GF＝AF+ BF＝6 AG＝3

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝=4

設EG＝EC＝x，則AE＝4﹣x，在Rt△AGE中，

由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2，

解得：x＝，

∴EG的長是