Question

14．如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，且DG平分△ABC的周長，設(shè)BC=a、AC=b，AB=c．
（1）求線段BG的長；
（2）求證：DG平分∠EDF；
（3）連接CG，如圖2，若△GBD∽△GDF，求證：BG⊥CG．

Answer 1

分析 （1）由DG平分三角形ABC周長，得到三角形BDG周長與四邊形ACDG周長相等，再由D為BC中點(diǎn)，得到BD=CD，利用等式的性質(zhì)得到BG=AC+AG，表示出BG的長即可；
（2）由D、F分別為BC、AB的中點(diǎn)，表示出DF與BF，由BG=BF表示出FG，得到DF=FG，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由DE為三角形中位線，得到DE與AB平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；
（3）由△GBD∽△GDF，且一對(duì)公共角相等，得到∠B=∠FDG，由（2）得：∠FGD=∠FDG，等量代換得到∠FGD=∠B，利用等角對(duì)等邊得到BD=DG，再由BD=DC，等量代換得到BD=DG=DC，得到B、C、G三點(diǎn)以BC為直徑的圓周上，利用圓周角定理判斷即可得證．

解答 （1）解：∵△BDG與四邊形ACDG的周長相等，
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴BG=AC+AG，
∵BG+（AC+AG）=AB+AC，
∴BG=$\frac{1}{2}$（AB+AC）=$\frac{1}{2}$（b+c）；
（2）證明：∵D、F分別為BC、AB的中點(diǎn)，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$b，BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$c，
∵FG=BG-BF=$\frac{1}{2}$（b+c）-$\frac{1}{2}$c=$\frac{1}{2}$b，
∴DF=FG，
∴∠FDG=∠FGD，
∵D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，
∴DE∥AB，
∴∠EDG=∠FGD，
∴∠FDG=∠EDG，即DG平分∠EDF；
（3）證明：∵△GBD∽△GDF，且∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、C、G三點(diǎn)以BC為直徑的圓周上，
∴∠BGC=90°，即BC⊥CG．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．