Question

已知拋物線y=a（x-t）²+t²（a，t是常數(shù)，a≠0，t≠0）的頂點(diǎn)是A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）若直線y=2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，拋物線y=a（x-t）²+t² 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，點(diǎn)C是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)C，使得△ABC等腰三角形？若能，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=2x中得t的值，把B點(diǎn) 的坐標(biāo)代入y=a（x-t）²+t² 中得a=-

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，即可得出拋物線的解析式；
（3）先求得A、B的坐標(biāo)，設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，m），分兩種情況討論即可求得．

解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-t）²+t²（a，t是常數(shù)，a≠0，t≠0）的頂點(diǎn)是A，
∴A（t，t²），
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B（-t，-t²）．

（2）∵直線y=2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴t²=2t，
解得：t=2，t=0（舍去）
∵拋物線y=a（x-t）²+t² 經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴-2t²=a（-t-t）²+t²，
解得：a=-

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，
∴拋物線的解析式為y=-

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2

（x-2）²+4；

（3）存在；
如圖，∵拋物線的解析式為y=-

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2

（x-2）²+4，
∴A（2，4），B（-2，-4）
設(shè)C（2，m），
當(dāng)AC=BC時(shí)，
則（4-m）²=（2+2）²+（-4-m）²，
解得：m=-1，
∴C₁（2，-1），
當(dāng)AB=AC時(shí)，
則（4-m）²=（2+2）²+（4+4）²，
解得：m=4+4

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或m=4-4

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，
∴C₂（2，4-4

5

），C₃（2，4+4

5

），
∴存在點(diǎn)C，使得△ABC等腰三角形，點(diǎn)C坐標(biāo)為C₁（2，-1），C₂（2，4-4

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），C₃（2，4+4

5

）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道典型的“存在性問(wèn)題”，結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形的性質(zhì)，考查了它們存在的條件，有一定的開(kāi)放性．