Question

【題目】如圖，，點為直線上一定點，為直線上的動點，在直線與之間且在線段的右方作點，使得．設為銳角)．

(1)求與的和；(提示過點作

(2)當點在直線上運動時，試說明；

(3)當點在直線上運動的過程中，若平分，也恰好平分，請求出此時的值

Answer 1

【答案】（1）∠NAD＋∠PBD=90°；（2）見解析；（3）30°

【解析】

（1）過點D作EF∥MN，根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行，可得EF∥OP，從而得出∠NAD=∠ADE，∠PBD=∠BDE，然后根據(jù)垂直的定義可得∠ADE＋∠BDE=90°，然后利用等量代換即可得出結(jié)論；

（2）將（1）的結(jié)論變形可得∠PBD=90°－∠NAD，然后根據(jù)平角的定義和等量代換即可證出結(jié)論；

（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠NAD=，∠NAB=2，∠OBD=2∠OBA，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OBA=∠NAB=，從而求出∠OBD=，最后根據(jù)（2）的結(jié)論列方程即可求出結(jié)論．

解：（1）過點D作EF∥MN，如下圖所示

∵

∴EF∥OP

∴∠NAD=∠ADE，∠PBD=∠BDE

∵

∴∠ADB=90°

∴∠ADE＋∠BDE=∠ADB=90°

∴∠NAD＋∠PBD=90°

（2）∵∠NAD＋∠PBD=90°

∴∠PBD=90°－∠NAD

∵∠OBD＋∠PBD=180°，

∴∠OBD＋90°－∠NAD=180°

∴；

（3）∵平分，也恰好平分，

∴∠NAD=，∠NAB=2，∠OBD=2∠OBA

∵

∴∠OBA=∠NAB=

∴∠OBD=

由（2）知

即

解得：