Question

【題目】已知，如圖拋物線與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．B的坐標為(1，0)，且OC＝4OB．

(1)求點C坐標及拋物線的解析式；

(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求△ACD面積的最大值；

(3)若點E在x軸上,點P在拋物線上．是否存在以A,C,E,P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2+3x﹣4；(2)三角形ACD面積的最大值＝8；(3)存在3個點符合題意，坐標分別是P1(﹣3，﹣4)，P2(，4)和P3(，4)．

【解析】

（1）根據(jù)點B的坐標，可求OB的長度，進而可求OC的長度，則C的坐標可求；將B,C兩點坐標代入中，用待定系數(shù)法可求拋物線解析式.

（2）過點D作軸分別交線段AC和x軸于點M,N，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設出點D,M的坐標，故可得出，即可得出結論.

（3）①過點C作 軸交拋物線于點，過點作交軸于點，此時四邊形為平行四邊形，由的縱坐標等于點C的縱坐標，得到方程，求出x的值即可得到點P的坐標；

②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形為平行四邊形，結合①可求點P的坐標.

（1）

將B,C代入中，

得

∴拋物線的解析式為

（2）

過點D作軸分別交線段AC和x軸于點M,N

∵拋物線的解析式為

設直線AC的解析式為

將A,C代入得得

設

則

當時，DM有最大值4，所以最大值為8

（3）①如圖，過點C作 軸交拋物線于點，過點作交軸于點，此時四邊形為平行四邊形

令

或

②如圖，平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形為平行四邊形

可令，由，得

解得或

此時存在點和

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是P1(﹣3，﹣4)，P2(，4)和P3(，4)．