Question

設(shè)直線kx+（k+1）y-1=0（k為正整數(shù)）與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為S_k（k=1，2，…，2 008），那么S₁+S₂+…+S₂₀₀₈=

 

．

Answer 1

分析：令x=0，y=

1

k+1

；令y=0，x=

1

k

；則直線kx+（k+1）y-1=0（k為正整數(shù)）與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（

1

k

，0），（0，

1

k+1

）；所以S_k=

1

2

•

1

k

•

1

k+1

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），然后把k=1，2，…2008分別代入上式，得到S₁，S₂，…S₂₀₀₈，最后把它們相加即可．

解答：解：令x=0，y=

1

k+1

；令y=0，x=

1

k

；
則直線kx+（k+1）y-1=0（k為正整數(shù)）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

k

，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

1

k+1

）；
∴直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為S_k=

1

2

•

1

k

•

1

k+1

=

1

2

（

1

k

-

1

k+1

），
當(dāng)k=1，S₁=

1

2

（1-

1

2

）；
當(dāng)k=2，S₂=

1

2

（

1

2

-

1

3

）；
…
當(dāng)k=2008，S₂₀₀₈=

1

2

（

1

2008

-

1

2009

）．
∴S₁+S₂+…+S₂₀₀₈=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

）
=

1

2

（1-

1

2009

）
=

1

2

×

2008

2009

=

1004

2009

．
故答案為：

1004

2009

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；也考查了坐標(biāo)與線段的關(guān)系、三角形的面積公式以及分?jǐn)?shù)的特殊運(yùn)算方法．