【題目】一次函數(shù)y=﹣2x﹣2分別與x軸、y軸交于點A、B.頂點為(1,4)的拋物線經(jīng)過點A.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點C為第一象限拋物線上一動點.設點C的橫坐標為m,△ABC的面積為S.當m為何值時,S的值最大,并求S的最大值;
(3)在(2)的結(jié)論下,若點M在y軸上,△ACM為直角三角形,請直接寫出點M的坐標.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3
(2)當m=2時,S的值最大,最大值為
(3)(0,﹣1)、(0,5)、或
【解析】
(1)設拋物線的解析式為,代入點A的坐標即可求解.
(2)連接0C,可得點根據(jù)一次函數(shù)y=-2x-2得出點A、B的坐標,然后利用三角形面積公式得出的表達式,利用二次函數(shù)的表達式即可求解.
(3)設M(0,n),已知A、C點坐標可求出直線AC的解析式,分三種情況,當AC⊥MC,求出M點坐標,當AC⊥AM時,求出M點坐標,當AM⊥MC時,求出M點坐標.
(1)一次函數(shù)y=﹣2x﹣2與x軸交于點A,則A的坐標為(﹣1,0),
∵拋物線的頂點為(1,4),
∴設拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+4,
∵拋物線經(jīng)過點A(﹣1,0),
∴0=a(﹣1﹣1)2+4,
∴a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;
(2)連接OC,點C為第一象限拋物線上一動點,點C的橫坐標為m,
∴C(m,﹣m2+2m+3),
一次函數(shù)y=﹣2x﹣2與y軸交于點B,則OB=2,
∵A的坐標為(﹣1,0),
∴OA=1,
∴,
∴當m=2時,S的值最大,最大值為.
(3)設M(0,n),
∵A(﹣1,0),C(2,3),
∴直線AC的解析式為y=x+1,
①當AC⊥MC時,=﹣1,
∴n=5,
∴M(0,5);
②當AC⊥AM時,n=﹣1,
∴M(0,﹣1);
③當AM⊥MC時,n=﹣1,
∴n=
∴M(0,)或M(0,);
綜上所述:點M的坐標為(0,﹣1)、(0,5)、(0,)或(0,).
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【題目】如圖,已知和均為等腰三角形,,,將這兩個三角形放置在一起.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖①,當時,點、、在同一直線上,連接,則的度數(shù)為__________,線段、、之間的數(shù)量關系是__________;
(2)拓展探究
如圖②,當時,點、、在同一直線上,連接.請判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)解決問題
如圖③,,,,連接、,在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中,當時,請直接寫出的長
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【題目】如圖,在中,,是的外接圓,連結(jié)OA、OB、OC,延長BO與AC交于點D,與交于點F,延長BA到點G,使得,連接FG.
備用圖
(1)求證:FG是的切線;
(2)若的半徑為4.
①當,求AD的長度;
②當是直角三角形時,求的面積.
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【題目】2020年2月22日深圳地鐵10號線華南城站試運行,預計今年6月正式開通.在地鐵的建設中,某段軌道的鋪設若由甲乙兩工程隊合做,12天可以完成,共需工程費用27720元;已知乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的1.5倍,且甲隊每天的工程費用比乙隊多250元.
(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天?
(2)若工程管理部門決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程,從節(jié)約資金的角度考慮,應選擇哪個工程隊?請說明理由.
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【題目】如圖,在直角坐標系中,A,B為定點,A(2,﹣3),B(4,﹣3),定直線l∥AB,P是l上一動點,l到AB的距離為6,M,N分別為PA,PB的中點下列說法中:
①線段MN的長始終為1;②△PAB的周長固定不變;
③△PMN的面積固定不變; ④若存在點Q使得四邊形APBQ是平行四邊形,則Q到MN所在直線的距離必為9.
其中正確的說法是_____.
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【題目】如圖1,△ABC是一張等腰直角三角形彩色紙,AC=BC,將斜邊上的高CD五等分,然后裁出4張寬度相等的長方形紙條.若用這4張紙條剛好可以為一幅正方形美術作品鑲邊(紙條不重疊),如圖2,則正方形美術作品與鑲邊后的作品的面積之比為_____.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=,AD=3,點E從點B出發(fā),沿BC邊運動到點C,連結(jié)DE,點E作DE的垂線交AB于點F.在點E的運動過程中,以EF為邊,在EF上方作等邊△EFG,則邊EG的中點H所經(jīng)過的路徑長是( 。
A. 2 B. 3 C. D.
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【題目】已知:如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)()的圖象交于點.軸于點,軸于點. 一次函數(shù)的圖象分別交軸、軸于點、點,且,.
(1)求點的坐標;
(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象寫出當取何值時,一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值?
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