Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（

3

，0）時(shí)，求此時(shí)DP的長(zhǎng)及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于

3

4

？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，證明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）本題分三種情況進(jìn)行討論，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）：
①當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí)，即t＞0時(shí)，關(guān)鍵是求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根據(jù)BD即OP的長(zhǎng)和∠DBG的正弦函數(shù)求出DG的表達(dá)式，即可求出DH的長(zhǎng)，根據(jù)已知的△OPD的面積可列出一個(gè)關(guān)于t的方程，即可求出t的值．
②當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，但D在x軸上方時(shí)．即-

4 3

3

＜t≤0時(shí)，方法同①類似，也是在直角三角形DBG用BD的長(zhǎng)表示出DG，進(jìn)而求出GF的長(zhǎng)，然后同①．
③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，D在x軸下方時(shí)，即t≤-

4 3

3

時(shí)，方法同②．
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．由已知得：
BF=OE=2，OF=

42-22

=2

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2

3

，2）
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），則有

4=b 2=2 3 k+b

．
解得

k=- 3 3 b=4

．
∴直線AB的解析式是y=-

3

3

x+4；

（2）如圖2，∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等邊三角形，
∴DP=AP=

42+( 3 )2

=

19

．
如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，延長(zhǎng)EB交DH于點(diǎn)G，則BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=

3

×

1

2

=

3

2

．
DG=BD•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

．
∴OH=EG=

5

2

3

，DH=

7

2

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

5

2

3

，

7

2

）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴

BG

AE

=

DG

BE

=

BD

AB

；而AE=2，BD=OP=

3

，BE=2

3

，AB=4，
則有

BG

2

=

DG

2 3

=

3

4

，解得BG=

3

2

，DG=

3

2

；
∴OH=

5

2

3

，DH=

7

2

；
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

5

2

3

，

7

2

）．

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動(dòng)過程中，使△OPD的面積等于

3

4

．
設(shè)點(diǎn)P為（t，0），下面分三種情況討論：
①當(dāng)t＞0時(shí)，如圖，BD=OP=t，DG=

3

2

t，
∴DH=2+

3

2

t．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

t(2+

3

2

t)=

3

4

，
解得t1=

21 -2 3

3

，t2=

- 21 -2 3

3

（舍去）
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（

21 -2 3

3

，0）．
②∵當(dāng)D在x軸上時(shí)，根據(jù)勾股定理求出BD=

4 3

3

=OP，
∴當(dāng)-

4 3

3

＜t≤0時(shí)，如圖，BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，
∴GH=BF=2-（-

3

2

t）=2+

3

2

t．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴-

1

2

t(2+

3

2

t)=

3

4

，
解得t1=-

3

3

，t2=-

3

，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-

3

3

，0），點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（-

3

，0）．
③當(dāng)t≤-

4 3

3

時(shí)，如圖3，BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，

∴DH=-

3

2

t-2．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

（-t）【-（2+

3

2

t）】=

3

4

，
解得t1=

21 -2 3

3

（舍去），t2=

- 21 -2 3

3

∴點(diǎn)P₄的坐標(biāo)為（

- 21 -2 3

3

，0），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（

21 -2 3

3

，0）、P₂（-

3

3

，0）、P₃（-

3

，0）、
P₄（

- 21 -2 3

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大．