Question

如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．
（1）求證：AB=DF；
（2）若AB=6，EC=2，求tan∠EDF的值和AD的．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，根兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAF=∠AEB，然后利用“角角邊”證明△ABE和△DFA全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF=6，AD=AE=BC，AF=BE，然后求出EF=EC，再根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解；設(shè)AD=AE=x，表示出BE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD，
在△ABE和△DFA中，

∠DAF=∠AEB ∠AFD=∠B=90° AE=AD

，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB=DF；

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA，
∴AB=DF=6，AD=AE=BC，AF=BE，
∴EF=EC=2，
∴tan∠EDF=

EF

DF

=

2

6

=

1

3

；
設(shè)AD=AE=x，則BE=BC-EC=x-2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，（x-2）²+6²=x²，
解得x=10，
即AD=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，（1）熟記性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．