Question

某商人在我縣開辦了一家兒童服裝專賣店，該店在兒童節(jié)前5月31日采購進一種今年流行的服裝，6月份（6月1日至6月30日）進行30天的試銷售，購進價格為20元/件．銷售結(jié)束后，得知日銷售量y（件）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系為：
y=

-2x+80(1≤x≤20，且x為整數(shù)) -3x+100(20＜x≤30，且x為整數(shù))

又知銷售價格z（元/件）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系滿足如圖所示的函數(shù)圖象．
（1）求：關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出在這30天（6月1日至6月30日）的試銷中，日銷售利潤w（元）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）該商人在7月份采取降低售價從而提高日銷售量的銷售策略，7月1日全天，銷售價格比6月30日的銷售價格降低a%，而日銷售量比6月30日提高了6a%（其中a為小于20的正整數(shù)），日銷售利潤比6月份最大日銷售利潤少897元，求a的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)圖象得出銷售價格z與銷售時間x（天）的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系進而求出即可；
（2）根據(jù)當(dāng)1≤x≤20時，以及當(dāng)20＜x≤30時，表示出日銷售利潤，進而求出函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函數(shù)的最值求法以及一次函數(shù)的增減性，得出6月份日銷售利潤最大為1225元，再利用已知列出等式方程45（1-a%）•10（1+6a%）-20×10（1+6a%）=1225-897進而求出a的值即可．

解答：解：（1）由圖象知，當(dāng)1≤x≤20時，設(shè)z=kx+b，
則有：

6k+b=38 20k+b=45

，
解得：

k= 1 2 b=35

，
即z=

1

2

x+35，
當(dāng)20＜x≤30時z=45，
綜上：z=

1 2 x+35，(1≤x≤20) 45，(20＜x≤30)

；

（2）當(dāng)1≤x≤20時，
W=yz-20y=（-2x+80）（

1

2

x+35）-20（-2x+80），
=-x²+10x+1200
當(dāng)20＜x≤30時，
W=yz-20y=45（-3x+100）-20（-3x+100）
=-75x+2500，
即W=

-x2+10x+1200，(1≤x≤20) -75x+2500，(20＜x≤30)

；

（3）6月30日的價格為45元，日銷售量為20個，
6月份當(dāng)1≤x≤20時日銷售利潤為：
W=-x²+10x+1200=-（x²-10x+25）+1225=-（x-5）²+1225，
當(dāng)6月5日時日利潤最大為1225元．
當(dāng)20＜x≤30時，利潤為W=-75x+2000，
當(dāng)x增加時W減小，故為x=21時最大．最大日銷售利潤為425元，
綜上6月份日銷售利潤最大為1225元．
由題意得45（1-a%）•10（1+6a%）-20×10（1+6a%）=1225-897
整理得：
27a²-1050a+7800=0，
化簡得9a²-350a+2600=0，
a₁=10，a₂=

260

9

（舍），
答：a的值為10．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出利潤與銷量之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．