Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD與EF的交點(diǎn)．
（1）求證：△BCF≌△DCE；
（2）若∠BFC=90°，S_△CFG﹕S_△DEG=9﹕16，求tan∠FBC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到∠BCD為直角，BC=CD，根據(jù)三角形ECF為等腰直角三角形，得到∠FCE為直角，CF=CE，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；
（2）由（1）的全等三角形，得到∠DEC=∠BFC=90°，進(jìn)而確定出FC與DE平行，得到三角形CFG與三角形DEG相似，根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比，求出相似比，再利用銳角三角函數(shù)定義即可求出所求式子的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴∠FCE=90°，CF=CE，
∴∠BCD-∠FCD=∠ECF-∠FCD，即∠BCF=∠DCE，
在△BCF和△DCE中，

BC=CD ∠BCF=∠ECD CF=CE

，
∴△BCF≌△DCE（SAS）；
（2）由（1）知△BCF≌△DCE，
又∵∠BFC=90°，
∴∠DEC=∠BFC=90°，
∵∠FCE=90°，
∴FC∥DE，
∴∠CFG=∠DEG，
∵∠CGF=∠DGE，
∴△CFG∽△DEG，
∴

S△CFG

S△DEG

=（

FC

DE

）²=

9

16

，
∴

FC

DE

=

3

4

，
又由（1）知DE=BF，
∴

FC

BF

=

3

4

，
∵∠BFC=90°，
∴tan∠FBC=

FC

BF

=

3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．